有效的数学学习往往表现出三个特点：一是超前学习，不能亦步亦趋地跟在教师的后面学习数学，最好走在教师的前面自学数学，不让自己因偶然的开小差而掉队。二是整体学习，尽可能进入“高观点下的初等数学”的状态，尽可能站在整体的高度俯视具体的数学问题，尽可能经由超前学习之后而回头来理解前面的简单数学。三是基于问题解决的学习，尽可能使数学表现为生活数学，同时又需要建立稳定的“数感”，使生活问题“数学化”。

1．超前学习：为什么数学学习特别容易掉队

学习任何一门学科都需要学生自学，但是，在语文、数学、外语、历史、地理等各种学科之中，数学尤其需要自学，尤其需要超前学习。原因在于，听讲式的学习总是容易走神、开小差。无论教师如何提醒学生“上课认真听讲”、“不做小动作”、“要集中注意力”、“不要开小差”，但学生总会在某个时刻走神而想入非非。在其他学科，比如语文或历史的课堂教学中，学生偶尔走神、开小差之后尚可以觉醒而继续听讲，只要继续听讲，就可以继续领会。甚至，若学生因意外事故中断一周或一个月的语文听课，学生再次返回语文课堂时，依然可以顺利地延续学习。

但是，数学的教材以及教学与其他学科的教材和教学有显著差异。语文、历史等学科的教材以及教学呈现为“苹果袋式”的结构，人们可以从苹果袋中在任何时间任何地点取出一个苹果。但是，数学的教材以及教学呈现为台阶式的结构。学生如果因开小差或其他原因没有爬过第一级阶梯，那么，他尚可能艰难地直接跳跃到第二级阶梯。可是，如果学生因开小差或其他原因没有爬过第一级阶梯和第二级阶梯，那么，他就几乎不可能飞跃到第三级阶梯。因此，在数学课堂教学中，学生如果偶尔走神、开小差或其他意外事故而中断三五天的数学学习之后，学生再次回头听课时，就很难听懂数学老师的讲课。

既然学生在听课过程中走神、开小差是不可避免的，既然数学的教材以及教学呈现为台阶式的结构，那么，为了不让自己在数学学习中掉队，学生学习数学的唯一办法是选择“自学”的道路并由此而进入“超前学习”的状态。学生在最初自学数学的过程中虽然会感到困难，但是，学生一旦以自学的方式对待数学，数学教材就被转化为类似语文、历史等学科的“苹果袋式”的结构：学生可以在任何时刻任何地方开始自学数学，而且，学生可以在暂停学习数学之后并不因暂时的中断而被淘汰出局。因为，学生可以在暂时中断自学数学之后在任何时刻任何地方重新开始自学数学。

这就是数学学习特别需要自学和超前学习的原因。这也是为什么在各个学科的教学改革中，数学教学改革反复提倡“自学”的原因。尽管“语文教学”在任何国家任何时代都是主流学科，也是历来教学改革成果较多的学科，但是强调“自学”或“自学辅导”、“主动学习”、“自主学习”等教学改革或教学实验，往往始于数学教学领域。比如中国科学院心理研究所卢仲衡主持的“自学辅导教学”实验、江苏邱学华主持的“尝试教学法”实验、上海顾泠沅主持的“尝试指导，效果回授”实验等，最初都发生在数学教学领域，积累经验之后，才逐步向其他学科扩展。

即便在数学教学法研究领域，重视学生自学数学以及主动学习的人也不在少数。比如，美国学者波利亚在提出他的著名的“怎样解题表”时，同时强调“学生主动解题以及教学生主动解题的教师必须有主动解题的经历”。波利亚所讨论的“怎样解题”是以学生主动学习为前提的。他将“主动学习”特别提出来作为他所拟订的三条学习原则中的首要原则（另两条原则是“最佳动机原则”和“循序阶段原则”）。在他那里，主动学习意味着“学习任何东西的最佳途径是亲自独立地去发现它”。[1]

波利亚不仅重视学生主动解题，而且将主动解题的训练推广到数学教师那里，并由此对数学教师的培训制度提出质疑。他提醒说：“大家都要求中学阶段应该不仅给学生数学知识，还要培养技能技巧、独立作业、独见和创造能力。然而却没有人向数学老师要求这些优良的品质和能力——这难道不奇怪吗？官方也建议缄默不谈关于数学技巧的事。攻读博士学位的学生要做研究工作，但只是在他要达到这个阶段的时候，他才在研究班讨论会上找到某种独立工作的机会，或是在写硕士论文时得到这种机会。而对于未来的数学教师却没有提供这样的机会——官方建议中没有一句话谈到关于任何种类的独立工作或研究工作。但是，如果一个教师没有过某种创造性工作的实际经验，他又怎能唤起、引导、帮助甚至赏识他的学生们的创造性的活动呢？如果一个教师在数学方面的知识完全是被动地接受过来的，那么他便很难促进他的学生进行主动的学习。如果一个教师生来从未有过奇思妙想，那么他大概会责备一个想出巧主意的学生，而不是鼓励他这样做。”[2]

2．整体学习：为什么提倡“高观点下的初等数学”

如果学生进入了“自学”数学和“超前学习”的状态，接下来他需要考虑的问题是，如何有效地自学？有效的“超前学习”是如何发生的？

为了有效地自学，学生需要对所学的对象保持必要的整体意识，需要有德国数学家克莱因倡导的“高观点下的初等数学”意识。

“高观点下的初等数学”可以有多重解释，它在这里至少意味着整体教学或整体学习。比如，当学生初次接触某个初级的数学知识时，可能会被这个新的陌生的数学知识挡住了学习的去路。但是，当学生对那些相关的数学知识有所了解，或者当学生了解了这个新的陌生的数学知识的来龙去脉时，这个初级的数学知识可能就立刻显得简单而“小菜一碟”。

问题是，数学教材里数学知识恰恰不那么适合学生自学，因为，数学教材提供的知识，往往是“掐头去尾烧中断”的知识。“掐头去尾烧中断”的教学模式在教师讲课那里虽然不成为问题（甚至反而因此而显得很“简便”），但它在学生那里却可能静悄悄地留下无法“理解”的隐患。“当数学科学变得严谨的时候，它表现出一种不可忽视的人为的特性，它忘掉了自己的历史起源，只显示出问题是如何解决的；却没有显示出问题是如何提出的，以及为什么提出的。”[3]

因此，克莱因认为一个数学教师的职责是：“应使学生了解数学并不是孤立的学问，而是一个有机的整体。”数学教师应具备较高的数学观点，只有观点高了，事物才能显得明了而简单。一个称职的数学教师应当掌握或了解数学各种概念、方法及其发展与完善的过程以及数学教育演化的经过。“有许多初等数学的现象只有在非初等的理论结构内才能深刻地理解。”[4]

遗憾的是，初等数学与高等数学之间一直有一条裂缝。这条裂缝与数学教师的培训方式相关。“当他从中学升入大学时，已将中学数学忘记，而在几年后当他回到中学去做一名教师时，又将忘记大学数学，而将几年前断掉的线再接起来。”[5]

初等数学与高等数学的融合对中小学数学教师的知识结构是一个挑战。“高观点下的初等数学”或“融合”之后的初等数学意味着初等数学教师获得了某种“数学历史意识”和“数学整体意识”。它使孩子居高临下地观看和解释数学的来龙去脉成为可能；它使孩子明了数学怎样从生活需要中产生，也让孩子明白数学的某个片段是从哪里来和到哪里去的发展过程。这正是克莱因提倡“高观点下的初等数学”的良苦用心。

“整体数学”实际上道出了一个数学教育的基本秘密，就是将“掐头去尾烧中段”的数学重新还原为“有头有尾”的、“从何处来往何处去”的数学。

有“数学历史感”的数学教学意味着重视任何一个数学知识片段的“来龙去脉”，不像现行的教材那样，“一开篇就是纯数学的内容，很少说明这些内容是哪里需要，从哪里来的，向哪里发展等”。“我们讲解的几何是一些基本图形及其性质，这些基本图形和性质为什么基本？从哪些现象和问题提出的？它们又和哪些问题有关？诸如这些问题，虽然未必能透彻阐述清楚，但应尽可能让学生有所理解。我们又不能使学生得出‘凡是数学中的问题、概念和方法等都是从实际中提出来’的印象，应该让他们了解既有从实际中来的，也有从数学本身发展提出的要求，而且后一方面还很重要。例如计算机的发明——从研究罗素悖论，到建立数理逻辑，到图灵机——的过程便是一个既生动又有说服力的例子（简直是一个动听而美妙的故事）。”[6]

3．问题解决：“数感”和“数学化”为什么是重要的

如果说20世纪国际数学教育领域提出了什么关键的教学理念和教学策略的话，那么，除了“主动学习”之外，“问题解决”便可以当仁不让地位居首要的教学理念和教学策略。

中国数学教育界似乎对“问题解决”并不陌生，因为我们一直在鼓励学生勤勤恳恳地做数学“习题”。只是这种“习题”与“问题解决”虽一步之遥，却缺乏“共同语言”。

数学教学中的“问题解决”是让学生用数学的眼光打量真实的“生活问题”，并用数学的眼光将这个生活问题“数学化”。“数学化”是一个过程，以往这个过程已经被编写数学教材的人“化”掉了，根本不需要学生亲自去“数学化”，只要解“习题”就是了。

表面上看，数学教材也并非完全剥夺学生“数学化”的权力，因为数学教材还是给学生提供了大量的解“应用题”的机会。本来，“应用题”是一个不错的概念，它暗示了数学与生活之间内在关系，暗示数学是能够解决生活问题的。但问题在于，“应用常被误解为在一般理论中的参数代之以数值”[7]。

真正的“数学化”意味着让学生在将“生活问题”转化为“数学问题”以及将“数学问题”转化为“生活问题”的“转化”过程中“体验”数学；真正的“数学化”意味着“再创造”和“再发现”。“再创造”和“再发现”面临的问题还是在教材那里：“几乎所有的课程都是从已经组织好了的数学对象开始，因而学生就被剥夺了一次最好的机会，即是被剥夺了将一个非数学的题材形成为数学内容的‘数学化’的机会；同时也就切断了纯数学与应用数学之间的一个重要联系。”[8]

遗憾的是，教室里常常充满大量的“练习”与“作业”，却很少看到学生兴致勃勃地“解决问题”的影子。更令人遗憾的是，教室里常常充满大量的基础知识与基本技能，这些基础知识与基本技能却并不一定能够由某个问题或某个主题“一脉相承”。

[1] [美]波利亚著，欧阳绛译：《数学的发现》，第一卷，499页，北京，科学出版社，1982。

[2] [美]波利亚著，欧阳绛译：《数学的发现》，第一卷，499页，北京，科学出版社，1982。

[3] [荷]弗赖登塔尔著，陈昌平等译：《作为教育任务的数学》，136页，上海，上海教育出版社，1995。

[4] 同上，115页。

[5] 同上，108页。

[6] 刘兼主编：《面向21世纪的中国数学教育展望》（第二辑），32页，北京，北京师范大学出版社，1995。

[7] [荷]弗赖登塔尔著，陈昌平等译：《作为教育任务的数学》，109页，上海，上海教育出版社，1995。

[8] 同上，115页。