中国古代数学是随着算筹的发明而形成的。算筹，简称“算”、“筹”、“策”等，也称“筹策”，是中国古代用于计算的工具。一般用竹制成，也有用铁制、骨制或象牙制的。用算筹摆成数学进行计算称之为筹算。在珠算发明以前，数学计算都是用算筹来进行，所以“算术”的原义是即指筹算的技术。

与毛算一样，筹算的基础也是加、减、乘、除四则运算。加、减法比较简单，直接通过添上、退下算筹的方法就可以了，也就是摆上两行数字，从左到右逐位相加或相减，和或差置于第三行中。在加减运算的基础之上，乘除运算按照“九九乘法表”来完成。其中除法是作为乘法的逆运算来进行的。由于古代的算筹乘除法都要排列成上、中、下三行来进行运算，所以演算过程相当复杂。

筹算在我国古代用了大约两千年，在生产和科学技术以至人民生活中，都发挥了重大的作用。但是，它的缺点也是十分明显的。首先，在室外拿着一大把算筹进行计算就很不方便；其次，计算数字的位数越多，所需要的面积也就越大，这在无形之中就受到了环境和条件的限制；此外，当计算速度加快的时候，还很容易由于算筹摆弄不正而造成错误。随着社会的发展，计算技术要求越来越高，这就需要算筹也要相应的进行改革，这也是势在必行的。这个改革从中唐以后的商业实用算术开始，经宋、元时代的发展，就出现了大量的计算歌诀，到元末明初珠算的普遍应用，历时七百多年。

在《新唐书》中就记载了这个时期出现的大量著作。由于封建统治阶级对民间数学十分轻视，以致这些著作的绝大部分已经失传。从遗留下来的著作中可以看出，筹算的改革是从筹算的简化开始而不是从工具改革开始的，这个改革最后导致珠算的出现。

一般来说，用算筹计算，效率是很低的。随着生产的发展，商品交换的日益频繁，需要计算的量越来越多，于是算筹有待改进，就是很自然的事情了。宋代，对筹算作了两方面的改进，一是将古代上、中、下三行的算法变为在一个横行里完成，另一方面是引用了大量的运算口诀。这些口诀琅琅上口，使运算步骤得以简化，运算速度有了提高。杨辉就是在这种背景之下，继承并发展了唐、宋数学家以加减代乘除的思想方法，并对乘除算法加以创新，提出了很多乘除运算的简捷算法。为了得心应手，劳动人民便创造出更加先进的计算工具——珠算盘。

中国古代数学源远流长，自汉代起，就形成了以筹算为基础、具有独特风格的初等数学体系，后经魏、晋、南北朝、隋唐以来千余年的积累和发展，在进入两宋以后，中国古代数学开始出现空前繁荣的景象，历史上一批重要的科学家就出现在这一时期，如贾宪、刘益、沈括、秦九韶、李冶和杨辉等。

在古城钱塘（今杭州），有一位少年，他自幼聪明好学，尤其喜爱数学。但由于当时数学书籍很少，这个少年只能零碎地收集一些民间流传着的算题，并反复研究，从中增长知识。

一天，这个少年无意中听说一百多里的郊外有位老秀才，不仅精通算学，而且还珍藏了许多《九章算术》《孙子算经》等古代数学名著，非常高兴，急忙赶去。

老秀才问明来意后，望了望这位少年，不屑地说：“小子不去读圣书，要学什么算学？！”

但少年仍苦苦哀求，不肯走。老秀才无奈，于是说：“好吧，听着！‘直田积八百六十四步，只云阔不及长十二步，问长阔共几何？’（用现在的话来说就是：长方形面积等于864平方步，已知它的宽比长少12步；问长和宽的和是多少步？）你回去慢慢算吧，什么时候算出来，什么时候再来”。说完便往椅子上一靠，闭目养起神来，心里却暗暗发笑：“这小子一定犯难了，这道题老朽才刚刚理出点头绪（此题的解法一般要用到二次方程），即使他懂得算学，那一年半载也是算不出来的。”

谁料，正当老秀才闭目思量时，少年说话了：“老先生，学生算出来了，长阔共60步。”“什么？！”老秀才一听，惊奇地从椅子上跳起来，一把夺过少年演算出来的草稿纸瞪大了眼睛看起来：“啊，这小子是从哪里学来的？居然用这么简单的方法就算出来了。妙哉！老朽不如。”老秀才转过脸来，对少年夸奖道：“神算，神算，怠慢了，请问高姓大名？”“学生杨辉，字谦光。”少年恭敬地回答。

后来，在老秀才的指导下，杨辉通读了许多古典数学文献，数学知识得到全面、系统地发展。经过不懈的努力，杨辉终于成了我国古代杰出的数学家，并享有数学“宋元第三杰”之誉。

算学制度始于北宋初年，但宋初并不重视算学，至宋神宗元丰年间才开始颁布条例。并于元丰七年（1084年）刻《算经十书》于秘书省。宋哲宗元祐初年的时候，朝廷打算重修算学，但有困难。宋徽宗崇宁三年（1104年）的时候才正式重修算学。

由此可见，到崇宁三年（1104年）的时候，才正式建立算学，即国家培养算学、历法人才的专科学校。当时招收的生员为二百一十人，主要学习各种算法以及历算、三式、天文书等，学业期满，如太学按三舍法“推恩、通仕、登仕、将侍郎”等。到了北宋末年，算学制度颁布了可谓很多，但南宋初年，州、县学皆因战乱而停废，宋高宗绍兴十二年（1142年），宋金和议后，才渐次恢复。

因为时局的缘故，算学的招生生源匮乏，朝廷也是命太史局多次招生，同时要求太史局诸官有缺必须通过秘书省的公试来补，否则一律无效。以上为《宋史》记载的关于南宋数学官方教育发展的情况。事实上，南宋的官学教育是地地道道的“应试教育”，早已彻头彻尾地沦为了科举制度的附庸，教育也并无自主性和独立性可言。我国的古代社会一向重文不重理，南宋王朝又是在战乱中由于人民的坚决抗敌才得以偏安一隅的，所以官方的算学即数学教育远不如北宋。虽然南宋官学时兴时废，但另一方面，私学却得到了兴起。各类蒙学教育和精舍教育相较于北宋则有了更长足的发展。除官学和私学外，南宋的书院教育更是达到了鼎盛时期。这些使得数学在摆脱了科举制度的束缚之后反而有了新的进步。

从另一面来说，唐代中期以后，社会经济得到较大发展，手工业和商业交易都具有相当的规模，因而，人们在生产、生活中需要数学计算的机会，较前大大增加，这种情况迫切要求数学家们为人们提供便于掌握、快捷准确的计算方法。为适应社会对数学的这种需求，中晚唐时期出现了一些实用的算术书籍。但是，这些书籍除了《韩延算术》被宋人误认为《夏侯阳算经》而坎坷流传到现在外，其余都已失传。

《韩延算术》大约编写于770年前后，书中介绍了很多乘除捷算法的例子。比如，某数乘以42可以化为某数乘以6，再乘以7；某数除以12可以化为某数除以2，再除以6。对于更复杂的问题可同样处理。通过将乘数、除数分解为一位数，可以使运算在一行内实现，简化了运算，提高了速度。杨辉的数学研究与数学教育工作之重点在于改进筹算乘除计算技术，总结各种乘除捷算法，这是由当时的社会状况决定的。杨辉生活在南宋商业发达的苏杭一带，这为进一步发展乘除的算法也提供了条件。

杨辉说：“乘除者本钩深致远之法。《指南算法》以‘加减’、‘九归’、‘求一’旁求捷径，学者岂容不晓，宜兼而用之。”在前人的基础上，他提出了“相乘六法”：一曰“单因”，即乘数为一位数的乘法；二曰“重因”，即乘数可分解为两个一位数的乘积的乘法；三曰“身前因”，即乘数末位为一的两位数乘法，比如257×21＝257×20+257，实际上，身前因就是通过乘法分配律将多位数乘法化为一位数乘法和加法来完成。四曰“相乘”，即通常的乘法；五曰“重乘”，就是乘数可分解为两因数的积，作两次相乘；六曰“损乘”，是一种以减代乘法，比如，当乘数为9、8、7时，可以10倍被乘数中，减去被乘数的—、二、三倍。杨辉还进一步发展了唐宋相传的求一算法，总结出了“乘算加法五术”、“除算减法四术”。求一实际上就是通过倍、折、因将乘除数首位化为一，从而用加减代乘除。杨辉的“乘算加算加法五术”，即“加一位”、“加二位”、“重加”、“加隔位”、“连身加”。乘数为11至19的，用加一位；乘数为101至199的，用加二位法；乘数可分为两因数的积，且可用加一或加二时，称为重加；乘数为101至109时，用隔位加；乘数为21至29、201至299时，用连身加。例如，342×56的计算，用现代符号写出，便是：342×56＝342×112÷2＝（34200+342×12）÷2＝（34200+3420+342×2）÷2。其“除算减法四术”即“减一位”、“减二位”、“重减”、“减隔位”，用法与乘算加法类似。

北宋初年出现的一种除法——增成法，在杨辉那里得到进一步的完善。增成法的优点在于用加倍补数的办法避免了试商，但对于位数较多的被除数，运算比较繁复，后人改进了它，总结出了“九归古括”，包含44句口诀。杨辉在其《乘除通变算宝》中引《九归新括》口诀三十二句，分为“归数求成十”、“归数自上加”、“半而为五计”三类。

客观上讲，杨辉不遗余力改进计算技术，大大加快了运算工具改革的步伐。随着筹算歌诀的盛行，运算速度大大加快，以至人们感觉到摆弄算筹跟不上口诀。在这样的背景下，算盘便应运而生了，及至元末，已经广为流行。

杨辉非常重视数学的普及及教育工作，他主张在数学教育中要贯彻“须责实有”的教育思想。所谓“须责实有”就数学教育的教材内容必须和社会生产、生活实践相结合，所提出的问题必须来自于生产和生活实际。因为普通大众在生活和生产实际中对于数学的需求越来越多，这才使是杨辉对于数学的钻研更多侧重于实用算术方面，尤其是对于筹算乘除算法的简便运用上更是花费了大量的心思和精力。

例如，在杨辉的著作《乘除通变本末》三卷中，几乎每一道题都是跟生活中的经济、纳税、农业、商务等有关系。

细物一十二斤半，税一。今有二千七百四十六斤，问税几何。

粟二千七百四十六石，给一千一百一十一人，问各几何。

在纳头子钱一十九贯一百五十二文，问本税钱若干。

二百三十八亩，每亩收粟二石七斗，问共几何。

绢一万三千一百五十二尺，问为绢几匹。

直田长九十步，阔七十步，问积步。

木炭七千五十六斤，各支百四十七斤，问人数。

开渠积六千八百三十七尺，共用一百五十九工，问一工取土多少。

另外，在《田亩比类乘除捷法》中所涉及到的几何图形名称无不是取自于生活实际当中。如：“直田、方田、圆田、圭田、梯田、牛角田、萧田、墙田”等。这些名称对应着我们现代的几何图形分别为“长方形、正方形、圆形、圆环形、三角形梯形，不规则四边形，倒梯形、半梯形”等。另还有诸如“腰鼓田、鼓田”等。在书中，杨辉还多五次提到“台州量田图”的问题：

台州量田图，有牛角田，用弧矢四法。

台州黄岩县围量田图，有梭田样，即二圭田相并，今立小题验之。

台州量田图，有曲尺田，内曲十二步，外曲二十六步，两头各广七步，问田几何。

台州量田园，有箭翎田，中长八步，东西两畔各长四步，阔一十二步，问田几何。

可见，杨辉对台州非常熟悉，他编入自己书中的这些题目无一不是来自于他工作和生活的实际，如果没有丰富的第一手资料，他很难详尽地叙述并运用这些数据，这种与实际紧密结合，进行数学研究和数学教学的方法，是杨辉数学教育思想的主要特点，也是中国古代数学家们的优良传统之一。为了使数学知识能为普通百姓所理解和掌握，杨辉在编写数学教材的时候，常常把很多深奥的内容用最便于群众的“歌诀”方式表达出来。这恰恰也是中国古代民间数学的特色之一。如“求一乘法”和“求一除法”歌诀：

求一乘法：五六七八九，倍之数不走；

二三须当半，遇四两折纽；

倍折本从法，实即反其有；

用本以代乘，斯数足可守。

求一除法：五六七八九，倍之数不走；

二三须当半，遇四两折纽；

倍折本从法，为除积相就；

用减以代除，定位求如旧。

这样的歌诀就是普通百姓生活中最常见的歌谣，通俗易懂，押韵顺口。这对于人们学习数学的帮助是显而易见的了。杨辉就是用这样的方式培养人们对于数学的学习兴趣。杨辉的数学并不倾向于高深的理论研究，更多都是粗浅的侧重于基础知识的实用数学。数学来自日常生活，又为日常生活服务，这样杨辉的数学在民间便得到了更加广泛的流传和普及。

在教学方法上，杨辉主张循序渐进，精讲多练。先熟练习题的运算，之后再总结算理、算法。《乘除通变本末》一书中，开篇便列有“习算纲目”，可以说是中国数学教育史上最早的一份数学教育教学大纲。这份数学大纲包括了学习进度、学习内容、学习方法、学习材料以及一些学习重点、难点的提示等。

在“习算纲目”中，杨辉非常强调对习题的熟练运算，练习的时间一般都要比正课多好几倍的时间，有的甚至几十倍，“习算纲目”通篇体现了杨辉由易到难、由浅入深、循序渐进的数学思想以及先熟练运算再明算理的数学主张。

第一阶段，先学“九九合数”，即九九乘法表。“一一得一，至九九八十一”，随后安排学习的内容和进度。学习“相乘”，讲课一日，温习五日；“商除”讲课一日，但温习半个月。以上二种方法，都是从一位数到六位以上数的运算。

第二阶段，学习有关乘除的替代算法。学加法起例并定位，功课一日，温习三日；学减法起便并定位，功课一日，用五日温习等。除了计算法之外，杨辉还指出在熟练运算之后，一定要知道算理的重要性。

第四阶段，就学习“通分”和“开方”了。通常人们认为“通分”很麻烦，但杨辉却要求学生不要认为有什么可麻烦的，认真学一下就好了。他将这些复杂的数学知识化简，化难为易，在编教材时充分考虑学生的心理和知识发展水平，尽量使深奥的数学知识变得更加直观、通俗，使之更容易推广、普及。这种利用社会生活中的课程资源进行是便于普通读者接受，也便于发挥社会效益，同时也便于学生能力的培养。

然后学习“开方”。“开方”是数学中用途很广泛的一部分知识，而且其本身就有七部分知识，即“开平方、开立方、开平圆、开立圆、开分子方、开三乘以上方和带从开方”。所以学习起来自然就要多花些时日，边学边研究，在学习方法上，杨辉提倡熟读精思，融汇贯通；提倡对知识的理解，反对死记硬背，直到能做到融会贯通，活学活用的程度为止。

最后一个阶段，就是要学习传统的《九章算术》了。经过前面几个阶段的基础知识训练之后，在熟练掌握各种算法的基础之上再来学《九章算术》难度就不大了。

在教学方面，杨辉认为，教师编书或讲课时，应该用算法统帅习题。要说明一种算法，都要先设置一种数学问题。每种算法都要有相应的数学题目来验证和练习。在要求学生进行大量的习题训练的同时，杨辉还强调要精选例题，并且在讲清楚算法的来龙去脉之后，启发、引导之中要触类旁通，并提高学习上的自觉性和主动性。可见，杨辉对于学习数学理论知识和运用练习题来理解并加以巩固，这两者之间的重要关系有着很深刻的认识。

杨辉一生治学严谨，教学一丝不苟，他的这些教育思考和方法，至今也有很重要的参考价值。