数学的园地里，最有趣味的一件事，就是许多重要的高楼大厦，有一座向东，就一定有一座向西，有一座朝南，就有一座朝北，使得游赏的人，走过去又可以走回来。而这些两两相对的亭台楼阁，它们里面的一切结构、陈设、点缀，都互相关联着，恰好珠联璧合，相得益彰。

不是吗？你会加就得会减；你会乘就得会除；你学了求公约数和最大公约数，你就得学求公倍数和最小公倍数；你知道怎样通分的原理，你就也懂得怎样约分；你晓得乘方的法子还不够，必须要晓得开方的法子，才算完全。原来一反一正不只是做文章的大道理呢？加法、乘法……算它们是正的，那么，减法、除法……恰巧相应地就是它们的还原，所以便是反的。

假如微分法算是正的，也有和它相反的方法没有呢？

朋友！一点不骗你，正有一个和它相反的方法，这就是积分法。倘使没有这样一个方法，那么我们晓得了一种运动的法则，可以算出它在每一刹那间的速度，遇着有人和我们开玩笑，说出一个速度来，要我们回答他这是什么一种运动，那不是糟了吗？他若再不客气点，还要我们替他算出在某一个时间中，那运动所经过的空间距离，我们怎样下台？

别人假如向你说，有一种运动的速度，每小时总是5里[11]，要求它的运动法则，你自然差不多能够不假思索地就回答他：

d=5t

他若问你，8个钟头的时间，这运动的东西在空间经过了多长的距离，你也可以轻轻巧巧地就说出是40里。

但是，这是一个极简单的匀速运动的例子呀！碰了不是匀速运动的时候，怎样？

倘使你碰到的是一个粗心马虎的阔少，你只要给他一个大致不差的回答，他就很高兴的，那自然什么问题也没有。不是吗？咱们中国人是宽大惯了的，算什么都四舍五入，又痛快又简单。你去过小菜场吗？你看那卖菜的虽是提着一杆秤在称，但那秤总不要它平，而且称完了，买的人觉得不满足，还可任意在篮子里去抓一把来添上。在这样的场合，即使有人问你什么速度什么运动，你很可以随便一点地回答他。其实呢，在日常生活当中，本来用不到什么精密的计算，所以上面提出的问题，若为实际运用，只要有一个近似的解答就行了。

近似的解答，却并不很难找，只要我们能够知道一种运动的平均速度。举一个例子，比如，我们晓得一部汽车，它的平均速度是每小时40公里，那么，5小时它就“大约”走的是200公里了。

但是，我们知道了那汽车真实的速度，是常常变动的，我们又想要将它在一定的时间当中所走的路程计算得更精密些，就得要知道许多相离很近的刹那间的速度—— 一串平均速度。

这样计算出来的结果，自然比前面用1小时做单位的平均速度来计算所得的，要精确些。我们所取的一串平均速度，数目越多，互相隔开的时间间隔越短，所得的结果，自然也就越精确。但是，无论怎样，总不是真实的情形。

怎样解决这问题呢？

一部汽车，继续了1个钟头，在一条很直的路上奔驰过去，每一刹间它的速度，我们也知道了，它在1小时里面所经过的路程，究竟怎样呢？

第一个求近似值的方法：我们可以将1小时的时间，分成每5分钟一个间隔。在这十二个间隔当中，每一个间隔，我们都选一个，在一刹那间的真速度：比如说在第一个间隔里，每分钟v1米是它在某一刹间的真实的速度；在第二个间隔里，我们选v2；第三个间隔里，选v3……这样一直到v12。

这汽车在第一个5分钟时间内所经过的路程，和5v1米相近；在第二个5分钟里所经过的，和5v2米相近，以下也可以照推。

它1小时的时间所通过的距离，就近于经过这十二个时间间隔所走的距离的和，就是说：

d=5v1+5v2+5v3+…+5v12

这个结果，也许恰好就是正确的，但这于我们也没有用，因为它是不是正确，我们就没有法子去确定。一般地说来，它总是和真实的相差不少。

实际上，我们上面的方法，虽则已将时间分成了十二个间隔，但在每5分钟这一段里面，还是用一个速度来作成平均速度。虽则这个速度，在某一刹那是真实的，但它和平均速度比较起来，也许太大了或是太小了。跟着，我们所算出来的那段路也说不定会太大或太小。所以，这个算法要得出确切的结果，差得还远呢！

不过，照这个样子，我们还可做得更精细些，无妨将5分钟一段的时间间隔再分得更小些，比如说，1分钟一段；那么所得出来的结果，即或一样地不可靠，相差的程度总比较小些。就照这样做下去，时间的间隔越分越小，我们用来做代表的速度，也就比较更近于那段时间中的平均速度，我们所得的结果，跟着便更近于真实的距离。

除了这个法子，我们还有第二个求近似值的方法：假如在那一小时以内，各分钟我们选出的一刹那间的速度是v1、v2、v3、… 、v60，那么这全路的距离d便是：

d=v1+v2+v3+…+v60

照这样继续做下去，把时间的段数越分越多，我们所得出的距离近似的程度总是也越来越大。这所经过的路程的值，我们总用项数逐渐加多，每次的数值逐渐近于真实，这样的许多数的和来表示。实际上，每一项都是表示一个很小的时间间隔乘一个速度所得的积。

我们还得将这个法子再讲下去，请你千万不可忘掉，和数中的各项，实际都是表示那路程的一小段。

我们照数学上惯用的假设来说：现在我们想象再将时间的间隔继续分下去，一直到无限，那么，最后的时间间隔，便是一个无限小的量了，将我们以前已用过的符号来表示，就是?t。

我们不要再找什么很小的时间间隔中的任何速度了吧，我们还是将从前所讲过的速度的意义记起来。真是，我们能够将时间间隔无限地分下去，到无限小为止。在这一刹那的速度，依以前所说的，它便是那运动所经过的路程对于时间的导数。可见得，这速度和这无限小的时间的乘积，便是一刹那间，运动所经过的路程。自然这路程也是无限小的。但是将这样一个一个的无限小的路程加在一起，不就是一小时内真实的总共的路程了吗？不过，道理虽是这样一说就可以明白，实际要照普通的加法去加，那一点儿动不来手：不但因为相加的数每个都是无限小，还有这加在一起的无限小的数，它的数目，却是数不清的无限大。

1小时的真实的路程既可以有法子得到，只要将它重用起来，无论多少小时的真实的路程也可以得到了。一般地说，我们仍然设时间是t。

照上面看起来，对于每一个t的值，我们都可以得出距离d的值来，所以d便是t的函数，可以写成下面的样子：

d=f（t）

换过一句话来说，这就是表示那运动的法则。

归根下来，我们所要找寻的只是将一个导数还原转去的法子。从前是知道了一种运动法则，要求它的速度，现在却是由速度要反回去求它所属的运动法则。从前用过的由运动法则求速度的方法，叫作导数法，所以得出来的速度也叫导数。

现在我们所要找的和导数法正相反的方法便叫“积分法”，所以一种运动在一段时间内所经过的距离d，便是它的速度对于时间的“积分”。

由前面顺了看下来，你大概已经可以明白“积分”是什么意思了。为了使得我们的观念更清晰一些，用一般习用的名词来说，所谓“积分”就是：

“无限大的数目这般多的一些无限小的量的总和的极限。”

话虽只一句，“的”字太多了，恐怕反而有些眉目不清吧！那么，重来说一次，我们将许许多多的，简直是无法表明白的，一些无限小量，加在一起。但这是不能照平常的加法去加的，所以我们只好换一个法子，求这个总和的极限。这极限便是所谓“积分”。

这个一般的定义虽则我们也能够用到关于运动的问题上面去，但我们现在还能更一般地去研究它。我们只需把已说过的关于速度这种函数的一些话，重复一番就好了。

设若y是变数x的一个函数，照一般的写法：

y=f（x）

对于每一个x的值，y的相应值假如也知道了，那么，函数f（x）对于x的积分是什么东西呢？

因为积分法就是导数法的反方法，那么，要将一个函数f（x）积分，就是无异于说：要另外找一个函数，比如是F（x），而这个函数不是可以随便拿来搪塞的，必须F（x）的导数就恰好是函数f（x）。这正和我们知道了3和5要求8用加法，而知道了8同5要求3就用减法是一般情形，不是吗？在代数里面，我们对于减法精密地一般地来下定义，就得这样讲：“有a和b两个数，要找一个数出来，它和b相加就等于a，这种方法便是减法。”

前面已经说过的积分法，我们再来做个例子看。

我们先选好一段变数的间隔，比如，有了起点O，又有x的任意一个数值。我们就将O和x当中的间隔分成很小很小的小间隔，一直到可以用?x表示的一步，在每一个小小的间隔里，我们随便选一个x的值x1、x2、x3……

因为函数f（x）对于x的每一个值都有相应的值的，它相应于x1、x2、x3……的值我们可以用f（x1）、f（x2）、f（x3）……来表示，那么这总和就应当是：

f（x1）?x +f（x2）?x+f（x3）?x+……

在这个式子里面?x越小，那就是我们将Ox分的段数越多，所以它的项数跟着也就多起来，但是每项的数值却越来越小了。这样我们不是又可以得出另外一个不同的总和来了吗？假如继续不断地照样做下去，逐次新做出来的和总比它前一次的渐渐地来得精确些。到了极限，这个和就会等于我们所要找的F（x）。所以积分法，实在是要求一个总和。F（x）是f（x）的积分，掉过来f（x）就是F（x）的导数，由前面的微分的表示法：

dF（x）=f（x）dx （1）

若把一个S拉长了来写成“∫”这个样子，作为积分的符号，那么，F（x）和f（x）的关系又可以这样表示：

F（x）=∫f（x）dx （2）

第一、第二两个式子的意义虽然不相同，但所表示的两个函数的关系却是一样的，这恰好像说“赵阿狗是赵阿猫的爸爸”和“赵阿猫是赵阿狗的囝囝”一般。意味呢，全然两样，但“阿狗”“阿猫”都姓赵，而且“阿狗”是爸爸，“阿猫”是囝囝，这个关系，在两句话当中总是一样地包含着。

讲导数的时候，先用运动来做例子，后来再从数学上的运用去研究它。积分法，除了在知道速度时，去求一种运动的法则以外，还有别的用场没有呢？

[11]1里等于0.5千米。