“八仙过海”只是一个玩意儿，因为我们只能在游戏场中碰着它，学校里的教科书上是没有的。老实说，平常弄这些玩意儿的朋友还多是目不识丁的中下阶级的分子。然而，这些朋友却是专门喜欢找学生寻开心，他们会使得你惊奇，会使得你只是莫名其妙，于是他们最后给你一个冷嘲：“学校里念书的人这都不知道！”原来在我们中国一般人的心里都有个传统的思想：“一物不知，儒者之耻。”读书人便是儒者，所以不但应当知人之所不知，还应当知人之所知，不然就应当惭愧。传统思想自然只是传统思想，其实哪有一个人真做得到色色都知。不过话虽如此，有些小玩意儿却似乎应当晓得，全都推脱，终不是一回事。“八仙过海”便是一个例子。只要肯思索的朋友，我相信一两点钟[24]的工夫总可以将这玩意儿的闷葫芦打破。

但是为了这一点小玩意儿，便去费一两点钟去思索，一天到晚所碰到的小玩意儿正不知有多少，若都要思索，哪还有工夫读书、听讲？而且单是这般地思索，其结果最高明也不过是一个小玩意儿的思想家，究竟登不来大雅之堂。这样一想，好似犯不上去思索了。然而不，何妨将它也搬进教科书里去呢？我们读的教科书彻头彻尾是洋货，我们不自己搬进去，谁还来替我们搬不成？朋友，这是要紧的工作，把我们的货色搬到他们的架子上去。在这里，请容我再掺入几句闲话。我说的是搬我们的货色到他们的架子上去，你切不可误会，以为我是劝你将他们的货色搬到我们的架子上来。我们有的是铁和铜，用它们来照样造火车、造发动机，这叫将我们的货色搬上他们的架子去；他们有的是上帝和耶稣，用它们来照样和城隍、财神一般地敬奉，这叫将他们的货色搬到我们的架子上来。朋友，架子是他们的好，这一点赌不来气，货色却没有什么中外，总出自地壳里。这虽只说到一个比方，但在我们读书的时候，它的根本含义却很重要。不过说来话长，别的时候再详谈吧。好在我要谈“八仙过海”，也就是搬我们的货色上他们的架子的一个例子，你若觉得还有意思，那就有点头路了。

我不知道你碰到过“八仙过海”这类的玩意儿没有，为了说起来方便，还是先将它说明一番。

一个人将八个钱分上下两排排在桌上，叫你看准一个，记在心头。他将钱收起，重新排过，仍是上下两排，又叫你看定你前次所认准的那一个在哪一排，将它记住。他再将钱收起，重又排成两排，这回他叫你看，并且叫你告诉他你所看准的那一个钱这三次位置的上下。比如你向他说“上下下”，他就将下一排的第二个指给你。你虽觉得有点奇异，想和他抵赖，可是你的脸色也不肯替你隐瞒了。这个玩意儿就是“八仙过海”。这人为什么会有这样的本领呢？你会疑心他是偶然猜中的，然而再来一次、两次、三次，他总不会失败，这当然不是偶然了。你就会疑心他每次都在注意你的眼睛，但是我告诉你，他哪有这么大的本领，你只眼睛一瞥，他就会看准了你所认定的那个钱呢？你又将以为他能隔着皮肉看透你的心上的影子，但是除了这一件玩意儿，别的他为什么又看不透呢？

究竟这玩意儿的神妙在哪里？朋友，你既喜欢和数学接近，大约总想受点科学的洗礼的，那么，我告诉你，宇宙间没有什么是神妙的。假如真有的话，我想便是“一个人有了脑筋本是会想的，偏不肯去想，但是你若要将他的脑袋割去，他又老大不愿意”这一件事实了。不是吗？既不愿用它，何必留它在颈项上？“八仙过海”不过是人想出来的玩意儿，更何用见神见鬼地对它惊奇呢？你不相信，我就把玩法告诉你，两三分钟之后你就会了。

这玩法有两种：一种姑且说是非科学的，还有一种是科学的。前一种比较容易，但是也就容易被人看破，似乎未免寒碜，后一种却较“神秘”些。

先来说第一种。你将八个钱分成上下两排照图13排好，便叫你想寻他的开心的人心里认定了一个，告诉你它在上一排或是下一排。

譬如他回答你是“上，那么你顺次将上一排的四个收起，再收下一排的。然后你将收在手里的一墩钱（注意，是一墩，你弄乱了那就要垮台），上一个下一个地再摆作两排，如图14。你将两图比较起来看，图13中上一排的四个到图14中分成上下各两个了。你再问他所认定的这次在哪一排。譬如他的回答是“下”，那么第一次在上这一次在下的只有B和D，你就先将这两个收起，再胡乱去收其余的六个，又照第二次的方法排成上下两排，如图15。在这图里B和D已各在一排，你再问他，若他说“上”，那他所认定就是B，反过来，他若说“下”，当然是D了。

你看这三个图，我在图14有四个圈没写字，在图15更多两个，这不是我忘了，也不是懒，空圈只是表示它们的位置没有什么关系。

其实这种玩法道理很简单，就是第二回留一半在原位置，第三回留下一半的一半在原位置。四个的一半是二，两个的一半是一，这还有什么猜不着呢？

我不是说这种方法非科学的吗？因为它实在没有什么一定的方式，不但A、B、C、D在图14可随意平分排在上下两排，而且还不一定要排在右边四个位置，只要你自己记得清楚就好了。举个例子说，譬如你第一次将钱收在手里的时候是这样一个顺序：A、B、E、F、G、H、C、D，你就可以排成图16（样子很多，这里不过随便举出两种），无论在哪一种里，其目的总在把A、B、C、D平分成两排。同样的道理，图15的变化也很多。

老老实实地说，这一种玩法简直无异于这样：你的两只手里各拿着四个钱，先问别人所要的在哪一只手，他若说“右”，你就将左手的甩掉，从右手分两个过去；再问他一次，他若说“左”，你又把右手的两个丢开，从左手分一个过去，再问他所要的在哪只手。朋友，你说可笑不可笑，你左手右手都只有一个钱了，他对你说明在左在右，还用你猜吗？

所以第一种玩法只是蒙混“阿木林”[25]的小巧玩意儿。

现在来说第二种。

第二种和第一种的不同，就是钱的三次位置，别人是在末了一次才一口气说出来，这倒须得有点硬功夫。我还是先将玩法叙述一下吧。第一次排成图17的样子，其实就是图13，“上下”指的是排数，“1、2、……8”是钱的位置。你叫别人认定并且记好了上下，就将钱收起，照1、2、3、4、5、6、7、8的顺序收，不可弄乱。

收好以后你就从右到左先排下一排，后排上一排，成图18的样子。

别人看好以后，你再照1、2、3、4、5……的次序收起，照同样的方法仍然从右到左先排下一排，再排上一排，这就成图19的样子。

在这么一回若他说出来的是“上下下”，那就是下一排的第二个，若他说“下下下”，那就是下一排的第四个。

为什么是这样呢？

朋友，因为摆成功是哪样的，我们无妨将八个钱三次的位置都来看一下：

A——上上上

C——上下上

E——下上上

G——下下上

B——上上下

D——上下下

F——下上下

H——下下下

这样看起来，A、B、C、D……八个钱三次的位置没有一个相同，所以他无论说哪一个你都可以指出来。

朋友，这次你该明白了吧？不过你还不好太高兴了，我这段“八仙过海指南”还没有完呢。而且所差的还是顶重要的一个“秘诀”。你难道不会想A、B、C、D……这几个字只有这图上有，平常的铜元没有刻上它们吗？即使你另有八个记号，你要记清楚上上上是A，下下下是H……不也够苦了吗？在这里却用得到“秘诀”。所谓秘诀就是八个中国字：“王、元、平、求、半、米、斗、非。”这八个字，马虎点说，都可分成三段，若某一段中含有一横那就算表示“上”，不是一横便表示“下”，所以王字是上上上，元字是上上下……我们可以将这八个字和图19相对顺次排成图20的样子：

由图20，就可看明白，你只要记清楚王、元、平、求……的位置顺序和各个字所代表的三次位置的变化，别人说出他的答案以后，你口中念念有词地暗数应当是第几个就行了。

譬如别人说下上上，那么应当是“半”字，在第五位；若他说上下上，应当是“平”字，在第三位。这不就可以瓮中捉鳖了吗？

暂时我们还不说到数学上面去。我且问你，这个玩意儿是不是限定要八个钱不得少也不得多？是的，为什么？假如不是，又为什么？“是”或“不是”很容易出口，不过学科学的人第一要紧的是既下个判断，就得说出理由来，除了对于那几个大家公认的基本公理或假说，是不容许无理乱说的。

经我这样板了面孔地问，朋友，你也有点踌躇了呢？大胆一点先回答一个“是”字：真的，顾名思义，“八仙过海”当然一共要八个，不许多也不许少。

为什么？

因为分上下排，只排三次，位置的变化一共有八个，而且也只有八个。所以钱少了就有空位置，钱多了就有变化重复的。

怎样知道位置的变化一共有八个而且只有八个呢？

不错，这是我们应当注意到的问题的中心，但是我现在还不来回答这个，且把问题再来盘弄一回。

“八仙过海”这玩意一共有下面的几个条件：

（1）八个钱；

（2）分上下两排摆；

（3）前后一共排三次；

（4）收钱的顺序是照竖行由上而下，从第一行[26]起；

（5）摆钱的顺序是照横排由右而左，从下一排起。

（4）（5）是排的手续，（1）（2）（3）都直接和数学关联。前面已经回答过了，倘使（2）（3）不变，（1）的数目也不能变。那么，假如（2）或（3）改变一下，结果（1）的数目将怎样？

我简单地答你，结果（1）的数目也就跟着要变。换句话说，就是若排数加多“（2）变”或是排的次数加多“（3）变”，所要的钱就得不止八个，不然便有空位要留出来。

先假定排成三排，那么我告诉你，就要二十七个钱，因为上、中、下三个位置三次可以掉出二十七个花样。你不信吗？请看下图：

图21本来是任意摆的，不过为着说明方便，所以假定了一个从1到27的顺序。

从图21照（4）（5）两手续，就可摆成图22。

从图22再照（4）（5）两手续，就可摆成第图23。

现在我们来猜了。

甲说“上中下”——他认定的是6；

乙说“中下上”——他看准的是16；

丙说“下上中”——他瞄着的是20；

丁说“中中中”——他注视的是14；

……

一共二十七个钱，无论别人看定的是哪一个，只要他没有把三次的位置记错或说错，都可以拿出来。

这更奇妙了，又有什么秘诀呢？

没有，没有，没有，回答你三个没有或五个没有。“八仙过海”的秘诀不过比一定的法则还来得灵动些，所以才用得着。现在要找二十七个字可以代表上、中、下的位置变化，实在没这般凑巧，即或有，记起来也一定不便当。那么，怎样找出别人所认准的钱来呢？

好，你要想晓得，那我们就来仔细地考察图23，我将它画成图24的样子。

图中分成三大段，你仔细看：第一段的九个是1到9，在图21中，恰好都在上一排，所以我在它的下面写个大的“上”字；第二段的九个是10到18，在图21中恰好都在中一排，所以下面写个大的“中”字；第三段的九个是从19到27，在图21中恰好都是下一排，所以用一个大的“下”字指明白。

你再由各段中看第一行，它们在图22中都是站在上一排；各段中的第二行，在图22中都站在中一排；而各段的第三行，在图22中都站在下一排。

这样，你总可明白了。甲说“上中下”，第一次是上，所以应当在第一段；第二次是中，所以应当在第一段的第二行；第三次是下，应当在第一段第二行的下一排，那不是6吗？

又如乙说“中下上”，第一次是中，应当在第二段；第二次是下，应当在第二段的第三行；第三次是上，应当在第二段第三行的上一排，那不就是16吗？

你再将丙、丁……所说的去检查看。

明白了这个法则的来源和结果，依样画葫芦，无论排几排都可以，一准成功，而且找法也和三排的一样。例如我们排成四排，那就要六十四个钱，我只将图画在下面，供你参考，说明呢，不再重复了。至于五排、六排、十排、二十排都可照推，你高兴无妨自己画几个图去看。

譬如有人说“二四三”，那么他看定的钱在图27中的第二段第四行第三排，就是31；若他说“四三一”，那就应当在图27中的第四段第三行第一排，他所注视的是57。

上面讲的是排数增加，排的次数不变。现在我们假定排数不变，只是排的次数变更，再看有什么变化。我们就限定只有上下两行排。

第一步，譬如只排一次，那么这很明白的，只能用两个钱，三个就无法猜了。

若排两次呢，那就用四个钱，它的变化如下：

它的变化是：

1——上上

2——上下

3——下上

4——下下

三次就是“八仙过海”，不用再说。譬如排四次呢，那就好用十六个钱，排法和上面说过的一样，变化的图如下：

例如有人认定的钱的四次的位置是“上下下上”，那应当在图33中的第一段第二分段第二行的上排，是7；又如另有一个人说他认定的钱的位置是“下下上上”，那就应当在图33中的第二段第二分段第一行的上一排，便是13。

照推上去，五次要用三十二个钱，六次要用六十四个钱……喜欢玩的朋友无妨当作消遣去试试看。

总结一下：前面说“八仙过海”的五个条件，由这些例子看起来，第一个是跟着第二、第三个变的。至于第四、第五关于手续的条件和前三个都没有什么直接关系。它们也可以变更。例如（4）我们也可以由下而上，或从末一行起，而（5）也可以由左而右从第一排起。不过这么一来，所得的最后结果形式稍有点两样罢了。

就我们所用过的例子，钱的数目是这样：

（1）分两排：

（a）排一次——2个

（b）排二次——4个

（c）排三次——8个

（d）排四次——16个

（2）分三排：

（a）排一次——3个（我们可以想得到的）

（b）排二次——？个（请你先想想看）

（c）排三次——27个

（d）排四次——？个

（4）分四排：

（a）排一次——4个（我们可以想得到的）

（b）排二次——？个

（c）排三次——64个

（d）排四次——？个

这次却真到了底，我们要解决的问题是：

“分多少排，一共排若干次，究竟要多少钱，而且只能要多少钱？”

上面所已举出的钱的数目，在那例子中都是必要而且充足的，说得明白点，就是多不得，少也不行。我们怎样回答上面的问题呢？假如你只要一个答案就满足，那么是这样的：

设排数是a，排的次数是x，钱数是y，这三个数的关系如下：

y=ax

我们试将前面已讲的例子代进去看一看，这个话靠得住不：

（1）

（a）a=2，x=1，∴y=21=2

（b）a=2，x=2，∴y=22=4

（c）a=2，x=3，∴y=23=8

（d）a=2，x=4，∴y=24=16

（2）

（a）a=3，x=1，∴y=31=3

（b）a=3，x=2，∴y=32=9（对吗？）

（c）a=3，x=3，∴y=33=27

（d）a=3，x=4，∴y=34=81（？）

（3）

（a）a=4，x=1，∴y=41=4

（b）a=4，x=2，∴y=42=16（？）

（c）a=4，x=3，∴y=43=64

（d）a=4，x=4，∴y=44=256（？）

照这个结果来看，我们所用过的例子都合得上，那个回答大概总有些可靠了，就是几个不曾试过的数，想起来也还不至于错误。不过单是这样还不行，别人总得问我们要理由。此刻是无可延宕，只得找出理由来。

真要理由吗？就是将我们所用过的例子合在一起用了脑力去想，一定可以想得出来的：不过，这实在大可不必，有别人的现成架子可以装得上去时，直接痛快地装上去多么爽气。那么，在数学中可以找到这一栏吗？

可以。那就是排列法，我们就来说排列法吧。

先说什么叫排列法。

有几个不相同的东西，譬如A、B、C、D……几个字母，将它们的次序颠去倒来地排，计算这排得出的花头的数目，这种方法就叫排列法。

排列法的计算，本来比较复杂，而且一点不小心就容易弄错的，要详细地知道，自然你只好去读教科书或是去请教你的数学教师。这里不过说着玩玩儿，只得限于基本的几个法则了。

第一我们来讲几个东西全体的不重复的排列。这句话大约须得解释一下，譬如有A、B、C、D四个字母，我们一齐拿它们出来排，这叫全体的排列。所谓不重复是什么意思呢？那就是每个字母在一种排法中只需用一回。就好像甲、乙、丙、丁四个人排座位一样，甲既坐了第一位，其余的三位当然不能再归他坐了。

要计算A、B、C、D这种排列法，我们先假定有四个位置在一条直线上，譬如是桌上画的四个位置，A、B、C、D是写在四个铜元上的。

第一步我们来就第一个位置想，A、B、C、D四个钱统都没有排上去，所以我们无论用哪一个摆进去都行。这就可以知道第一个位置有4种排法。我们取一个钱放到了1，那就只剩三个位置和三个钱了，这就跟着来摆第二个位置。

外面剩的钱还有三个，第二个位置无论用这三个当中的哪一个去填它都是一样。这就可以知道第二个位置有3种排法。到了第二个位置也有一个钱将它占领时，桌子上只剩两个位置，外边只剩两个钱了。

第三个位置因为只有两个钱剩在外面，所以去填的方法也只有2个。

当第三个位置也被一个钱占领了时，桌上只有一个空位，外面只有一个闲钱，所以第四个位置的排法便只有1个。

为了容易明白起见，我们还是来不怕麻烦地画一个图。

仔细观察图35第一位，无论是A、B、C、D四个当中的哪一个，A或B或C或D，第二位都有3个排法，所以第一、第二位合在一起共有的排法是：

4×3

而第二位无论是A、B、C、D中的哪一个，第三位都有两个排法，所以一、二、三，三个位置连在一起算，一共的排法是：

4×3×2

至于第四位，那跟着第三位来已经是定了，只有一个方法。因此四个位置一总的排法是：

4×3×2×1=24

我们由图上去看，恰好一共是二十四排。

假如桌上有五个位置，外面有五个钱呢？那么第一个位置照前面说过的样儿有五个排法，到了第一个排定以后，下面剩四个位置和四个钱，它们的排法便和前面说过的一样了。所以五个位置五个钱的排法是：

5×4×3×2×1=120

前面是从1起将连续的整数相乘起来乘到4，这里是从1起乘到5。假如有六个位置和六个钱，同样地我们很容易知道是从1起将连续的整数相乘起来乘到6为止，就是：

6×5×4×3×2×1=720

譬如有八个人坐在一张八仙桌上吃饭，那么他们的坐法便有40320种，因为：

8×7×6×5×4×3×2×1=40320

你家请客常常碰到客人推让座位吗？真叫他们推去推来，要让完这40320种排法，从天亮闹到天黑也不能够呢。

一般的法则，假设位置是n个，钱也是n个，它们的排法便是：

n×（n-1）×（n-2）×…×5×4×3×2×1

这样写起来太不方便了，不是吗？在数学上，对于这种从1起到n为止的n个连续整数相乘的把戏，给它一个名字叫“n的阶乘”，又用一个符号来代表它，就是n！，用式子写出来便是：

n的阶乘=n！=n×（n-1）×（n-2）×…×5×4×3×2×1

所以

8的阶乘=8！=8×7×6×5×4×3×2×1=40320

6的阶乘=6！=6×5×4×3×2×1=720

5的阶乘=5！=5×4×3×2×1=120

4的阶乘=4！=4×3×2×1=24

3的阶乘=3！=3×2×1=6

2的阶乘=2！=2×1=2

1的阶乘=1！=1

有了这个新的名词和新的符号，我们说起来就便当了！

“n个东西全体不重复的排列就等于n的阶乘n！。”

但在平常我们将东西来排列的时候，往往遇着位置少东西多的情形。举个例子说，譬如你有一位朋友，他运道来了，居然奉国民政府的命令去当什么县的县长。这时你跑去向他贺喜，这自然是值得贺的，不是吗？已升官就可发财了！但是你见着他时，一眼就可以看出来，他的脸孔上直一条横一条的喜纹当中也就夹着正一条歪一条的愁纹。你若问他愁什么，他定会告诉你，一个衙门里不过三个科长，六个科员，两个书记，荐人来的条子倒有三四十张，这实在难于安排。

真的，朋友，莫怪你的朋友难安排，他想不得罪人简直不行！就算他只接到三十条荐人的条子，就算他的衙门里从科长数到洗马桶的一共要用三十个人，但是人全是两条眉毛横在两只眼睛上的，哪个会看得见自己的眉毛的粗细，哪个不想当第一科科长！倘使你的朋友请你替他安排，你左排也不是，右排也仍然不是，你也只得在脸上挂起愁纹来了。三十个人物排去排来有多少？我没有这样的工夫去算，你只要想，单是八的阶乘就已有40320了，那三十的阶乘将要是怎样大的一个数！

笔一滑，又说了一段空话，转到正文吧。

譬如你那朋友接的条子当中只有十条是要当科长的，他的科长的位置一共是三个，他有多少安排法呢？这就归到第二种的排列法。

第二我们来讲几个东西部分的不重复的排列法。因为粥少僧多，所以只有一部分人的条子有效。因为国民政府的命令兼差不兼薪，没有哪个人这般傻气，吃一个人的饭肯做两个人的事，所以排起来不重复。

从十个条子当中抽出三个来，分担第一、第二、第三科的科长，这有多少法子呢？

朋友，你对于第一个法子若真是明白了，这一个是很容易的。

第一科长没有定人时，十张条子都有同样的希望，所以这个位置的排法是10。

第一科长已被什么人得去了，只剩九个人来抢第二科的科长，所以第二个位置的排法是9；同一个道理第三个位置的排法是8，照第一种方法推来，这三个位置的排法一总应当是：

10×9×8=720

若是你的朋友接的条子中间，想当科长的是十一个或九个，那么其排法同样地就应当是：

11×10×9=990

或9×8×7=504

若是他的衙门里还有一个额外科长，一共算有四个位置，那么他的安排应当是：

10×9×8×7=5040

11×10×9×8=7920

或9×8×7×6=3024

我们仍然用n代表东西的数目（在数学上算数的时候，朋友，你不必生气，人也只是一种东西，倒无关于他有没有当科长的福分），不过位置的数目既和东西的不同，所以得另用一个字母来代表，譬如用m。这一来我们的题目变成：

“在n个东西里面取出m个来的排法。”

照前面的推论法，m个位置，n个东西，第一位的排法是n；第二个位置的排法，因为东西已少了一个，所以只有n-1；第三个位置，东西又少了一个，所以只有n-2个排法……照推下去，直到第m个位置，它的前面有m-1个位置，而每一个位置都拉了一个人去，所以被拉去的共有m-1个人，就总人数说，这时已少了m-1个，只剩n-（m-1）个了，所以这个位置的排法是n-（m-1）。

这样一来，一总的排法便是：

n×（n-1）×（n-2）×（n-3）×…×[n-（m-1）]

比如n是11，m是4，代进去就得：

11×（11-1）×（11-2）×（11-3）=11×10×9×8=7920

在实际上只要从n写起，往下一共连着写m个就行了。

这种排法也有一个符号，就是Amn。A右下方的n表示一总的个数，A右上方的m表示取出来排的个数，所以如在26个字母当中取出5个来排，它的方法一共就是A526。

将上面的计算用这符号连起来，就得出下面的关系：

Amn=n×（n-1）×（n-2）×…×[n-（m-1）]　（1）

这里有一件很有趣味的事，譬如我们将前面说过的第一种排法也用这里的符号来表示，那就成为Ann，所以：

Ann=n！　（2）

在n个东西当中去了m个，剩的还有n-m个，这n-m个若自己掉去掉来地排，它的数目就应当是：

An-mn-m=（n-m）！　（3）

朋友，我问你，用（n-m）！去除n！得什么？

你们如果想不出，就不必客气将它们写出来看：

从这个式子一看分子和分母将公因数消去后，恰好得：

这式子的右边和（1）式的完全一样；所以

这个式子很有一点意思，我们可以这样想：从n个当中取出m个来排，和将n个全排好，从第m+1个起截断一样，因为Ann是n个的排列，An-mn-m是m个以后所余的东西的排列。

举个例子来说，5个字母取出3个来的排法是A35，而5-3=2，

关于这两种排列法的计算，基本的原理不过就是这样。但应用起来却并不十分容易，因为许多题目往往包含着一些特别条件，它们所能排成功的数目就要减少不小。譬如八个人坐的是圆桌，大家又预先说明没有什么叫首座，这比他们坐八仙桌的变化就少得多。又譬如在八个人当中有两个是夫妻，非挨着坐不可，或是有两个是生冤家死对头，不能坐在一起，或是有一个人是左手拿筷子的，若坐在别人的右方不免要和别人的筷子冲突起来……这些条件是数不尽的，只要有一个存在，排列的数目就得减少。朋友，你真要详细知道，我只好劝你去读教科书或去请教你的教师，这里却不谈了。

呵！你也许不免要急得跳起来吧？说了这半天，和“八仙过海”有什么关系呢？这是我们应当赶快解决的，不错。但还得请你忍耐一下，单是这样，这架子还不够，不能好好儿地就将“八仙过海”这一类的玩意儿往上摆。我们得另外说一种别的排列法。

前面的两种都是不重复的，但“八仙过海”每一个钱的三次位置不是上就是下，所以总得重复，这种排列法究竟和前面所说过的两种有点大同小异，就算它是第三种吧。

第三种是n种东西m次数可重复的顺序。就用“八仙过海”做例子，排去排来，不是上便是下，所以只算得有两种东西，我们无妨用a、b来代表它们。

首先说两次的排法，就和图36一样。第一个位置因为我们只有a、b两种不同的东西，所以只好有2种排法。

但是在这里因为a和b都可重用的缘故，就是第一个位置被a占了，它还是可以有2个排法，同样地它被b占了也仍然有2个排法。因此一总的排法应当是：

2×2=22=4

譬如像“八仙过海”一般，排的是3次呢，照这里的话说，就是有三个位子可排，那么就如图37的样，全体的排法是：

2×2×2=23=8

这不就说明了“八仙过海”那玩意儿，分上下两排，一共排三次，位置不同的变化是8吗？

我们前面曾经说过分三排只排三次的例子，用a、b、c代表上、中、下，说明是一样的，我们且省略它。就图38看，可以知道排列的总方法是：

3×3×3=33=27

这个数目和我们前面所用的钱恰好一样。

照同样的例，分一、二、三、四，四排只排三次的数目是：

4×4×4=43=64

前面还说过排数不变次数变的例子。两排只排三次，已说过了。两排排四次呢，那就如第图39，一共能排的数目应当是：

2×2×2×2=24=16

若排的是三排，一共排四次，照同样的道理，它的总数是：

3×3×3×3=34=81

以前所举出的例子都可照样推算出来。将这几个式子在一起比较，乘数是跟了排数变的，乘的次数，就是指数，是跟了排的次数变的，所以若排数是a，排的次数是x，钱数是y，那么，

y=ax

用要一般的话来说，就是这样：

“n种东西，m次数可重复的排列，便是n的m次乘方，nm。”

所谓“八仙过海”，现在可明白了，不过是排列法中的一种游戏，有什么奇妙呢？你只要记好y等于a的x乘方这个式子，你想分几排，排几次，心上一算就可知道，应当请几位神仙下凡。你再照前面所说过的（4）（5）两条手续去做，神仙的道法虽高，如来佛的手心却可伸缩，岂知孙悟空的筋斗云无用呢？

[24]一两点钟：即今一两个小时。

[25]阿木林：方言，意为傻瓜、呆子。

[26]第一行：指从左往右数第一竖行。后文中的“行”均指竖行。