古代美索不达米亚数学的产生几乎与文字的出现同时，因为文字的产生不是源于狭义上的文学创作，而是出于社会经济发展，更确切地说，是出于记录财产和产品的实际需要，为此，数学符号首先成为必需。在乌鲁克文化第四期（约公元前3500年）中发现的迄今所知美索不达米亚也是人类最早的文字中，数字就占有重要的一席之地。

一、数学的出现

在考古学家迄今在美索不达米亚所发现的大约50万块楔形文字泥板中，约有300多块被鉴定为纯数学泥板，其中100多块是学生练习的“习题集”，其余的200多块属于数学表格。“习题集”的内容涉及的多为代数和几何问题，数学表格则包括乘法表、除法表、倒数表、平方表、平方根表、立方表和立方根表，甚至还有指数表等。尼普尔无疑是迄今所发现的泥板的重要来源地之一，在此发现的泥板约有5万块之多。这些载有数学表格的泥板多数便出自尼普尔城，主要原因可能在于，尼普尔城是古巴比伦时期书吏教育的繁荣中心，而数学很显然是书吏教育的重要课程。

保存至今的楔形文字数学泥板文书大体上可以分为三组：第一组来自苏美尔时代末期（约公元前2100年）；第二组来自古巴比伦时期，主要自汉谟拉比时代开始，至公元前1600年前后，这时期的材料数量最多；第三组来自新巴比伦王国及随后的波斯帝国和塞琉古王朝时代，时间约从公元前600年至公元1世纪初。这些材料反映出，美索不达米亚的数学经历了三个重要的发展和繁荣时期，即苏美尔时期、古巴比伦时期和塞琉古时期。在苏美尔时期，数学主要涉及土地转让及处理这类事务的算术计算，古代苏美尔已熟悉各种法律契约，如账单和收据、期票、单利和复利、抵押、卖货单据和保证书等。苏美尔人还把数学用于度量衡和商务记录中。古巴比伦时期是古代美索不达米亚数学发展史上最重要、最辉煌的时期，这可能与古巴比伦时期是美索不达米亚的政治、经济和文化的最鼎盛时期不无关系。下面将要介绍的古代美索不达米亚的主要数学成就，多数属于古巴比伦人。一般认为，在古巴比伦时期相对高度发展的数学之后，美索不达米亚的数学经历了一个缓慢的发展过程。直至大约1500年之后的塞琉古时期前，巴比伦人在数学方面都没有取得重大成就。令人不可思议的是，这期间却是其他科学发展的重要时期。

图12.1 记载几何内容的数学泥板。涉及一系列关于体积计算的间距，并给出了计算方法和答案

必须提及的是，古代美索不达米亚的数学奥秘得以揭破，除考古学家的不朽功绩外，许多著名的语言学家和科学史家居功至伟。可以说，没有他们的辛勤劳动和聪明才智，这个人类智慧宝藏不知要埋藏多久。解开古代美索不达米亚数学之谜的贡献最大者无疑首推美国学者奥托·诺伊格鲍埃尔（Otto Neugebauer），他被认为是关于巴比伦数学的最权威人士，因此值得在这里略书一笔。他在20世纪20年代末首先破译了巴比伦楔形文字的数学泥板，并建议要妥善保护那些尚未破译的泥板。其主要著作有《古代的精密科学》（The Exact Science in Antiquity，New York：Harper，1957）及与A.萨克斯（A.Sachs）合著的《楔形文字数学文献》（Mathematical Cuneiform Texts，New Haven：American Oriental Society and the American Schools of Oriental Research，1945）等。此外，他在巴比伦天文学的研究方面也有较深的造诣。

二、代数学

大约在公元前2000年，美索不达米亚的算术已发展成为一种高度发达的用文字叙述的代数学。巴比伦人已经非常善于编撰数学用表，并把它们用于实际的运算过程之中。这些数学用表包括乘法表、除法表、平方表、平方根表、立方表、立方根表、倒数表，甚至还有对数表等。例如，九的倍数表如下：

再如，除7和11以外的2至12的倒数表如下：

巴比伦人已经涉及了级数问题。诺伊格鲍埃尔在巴黎卢浮宫博物馆发现了一块属于公元前300年左右的泥板，上面载有两个有趣的级数问题。它们分别为[2]：

巴比伦人还有一种特殊的代数表，即一个给定的数的立方与平方表。假设给定的数为n，那么表达形式应该为n3+n2。

到古巴比伦时期，巴比伦人在代数方面的才能和智慧还表现在他们已能解一元一次、二元一次、一元二次甚至一元三次方程。由于当时世界上还不存在字母文字，巴比伦人自然无法用字母来表示未知数。但他们有自己一套独特的方法来解决这一问题，他们通常使用“长”、“宽”、“面积”和“体积”等词语来表达所要求的数。为了更清楚地展示巴比伦人叙述方程问题和解方程的办法，我们根据楔形文字泥板所记录的方程问题各举一例阐述之。

（1）一元一次方程

原题内容：“我找到了一块石头，没有称其重量；我加了七分之一，又加了十一分之一。我称一下：一明那。这块石头原重多少？它重一明那八舍克勒二十二又二分之一‘莱恩’。”[3]

如果我们按现代方法设石头原重量为x明那的话，该方程可表示为：

（2）二元一次方程

原题概述：四分之一宽加长等于七只手，长加宽等于十只手。求长和宽分别是多长。[4]

如果我们按现代方法设长和宽分别为x和y，该方程可表示为：

（3）一元二次方程

原题内容：“我已加了表面积和正方形的边长：45′

你应记上1作为一个单位

你应把它分为两半：30′

你应把30′和30′相乘：15′

你应把45′加15′：1

这就是1的平方根。

你再从1里拿走30′：30′

这就是边长。”[5]

把系数作为一个单位元素1，

1的平方根等于1，

如果把这一过程套入现代的数学运算模式，把边长设为未知数x，可表达为：

这块泥板所载的二次方程的解题过程表明，古巴比伦人已经懂得用把等式两边加等数的方法来进行移项。他们还懂得通过把等式两边乘等量使分数转化成整数。他们显然已知道a2+2ab+b 2=（a+b）2这一公式，并把它灵活地应用于解二次方程中。他们还知道把（a-b）2加4ab就可得到（a+b）2。

（4）一元三次方程

巴比伦人能否把四项式的三次方程即ax3+bx2+cx=d转化成它们的标准式，目前尚无材料证实。不过，根据他们解三次方程和二次方程的办法，他们应该能解个别三项式的更高次方程，如ax4+bx2=c及ax8+bx4=c等，这对古巴比伦人来说并非难题，因为他们很容易就把它们简化成三次以下的标准式方程。

三、几何学

许多年前的传统观点普遍认为，巴比伦人在代数方面的成就是古埃及人远不能比的，但他们在几何学方面却贡献甚微。随着大量考古学资料的不断发现，人们发现美索不达米亚不仅是代数学的诞生地，几何学在这里同样取得了令人惊异的成就。

古巴比伦人已经认识到圆的一些特性。他们把圆周分为360等分，这种划分一直沿用至今，这无疑是古代美索不达米亚人对几何学的最大贡献之一。关于巴比伦人把圆周分成360等分的原因，学者们有多种说法，但认为与时间有关的见解显然更有道理。德国著名数学史家莫里茨·康托尔[6]认为，“早期的巴比伦人认为一年共有360天，在这段时间里太阳围绕地球转了一整圈。这便导致圆之分割为360度，每一度代表一天中太阳所走过的距离”[7]。对此，巴比伦数学的权威诺伊格鲍埃尔的解释更具系统性。他认为：“在苏美尔文化初期，曾有一种大的距离单位——巴比伦里，差不多等于现在的英里的七倍。由于巴比伦里被用来测量较长的距离，很自然，它也成为一种时间单位，即走一巴比伦里所需的时间。后来，在公元前一千年内，当巴比伦天文学达到了保存天象系统记录的阶段时，巴比伦时间——里，就是用来测量时间长短的。因为发现一整天等于12个时间——里，并且一整天等于天空转一周；所以，一个完整的圆周被分为12等分。但是，为了方便起见，把巴比伦里分为30等分，于是，我们便把完全的圆周分为（12）（30）=360等分。”[8]

巴比伦人关于三角形和“三角学”方面的知识在古代世界中是非同寻常的。他们不仅掌握了计算直角三角形和等腰三角形（也许还有普通三角形）面积的方法，而且还知道两个相似直角三角形的对应边成比例，过等腰三角形顶点所作的底边的垂线平分底边以及内接于半圆的三角形为直角三角形等。在这方面他们最值得炫耀的发现是被后世数学家冠之以“毕达哥拉斯定理”的原理，即勾股定理——一个直角三角形两个直角边的平方和等于斜边的平方。对此，最直接的材料证据就是那块在巴比伦数学泥板中最著名的普林顿第322号泥板，即哥伦比亚大学普林顿收集馆的第322号藏品（No.322 in the Plimpton Collection at Columbia University）。该泥板属于古巴比伦时期（时间大约在公元前1900—前1600年）。

从泥板的保存状况不难看出，普林顿第322号泥板只是一大块泥板的一部分，该泥板左边遗失一大块，右边大约居中的位置有一个大体呈三角形的较深的坑。这块泥板的左边断裂处发现有现代胶水的痕迹，据此推测，它在挖掘出来时可能是完整的，后来断裂时人们曾用胶水接合，再损坏时其中一块便下落不明。

表6 普林顿第322号泥板数值表

科学史家埃莉诺·罗布森（Eleanor Robson）对普林顿第322号泥板给予了高度的评价，认为“它是世界上最著名的数学发明之一”[10]，“它也确实作为数学史上的里程碑而名载史册”[11]。

在古代美索不达米亚如同在古埃及一样，所有的圆都被认为是相似的。古代美索不达米亚人很可能懂得三角形相似的原理。在巴格达博物馆的一块泥板上，载有一个直角三角形ABC（见下图）：

两条直角边a=60，b=45，斜边c =75。它又被分为四个小直角三角形ACD、CDE、DEF和EFB。题目给出了这四个三角形的面积，书吏根据这些值计算出AD的长度为27，这显然利用的是“相似形”面积与边长关系的原理。CD和BD的长度分别计算为36和48，根据直角三角形BCD和DCE的相似原理，CE的长度被计算为21；36。由于泥板损毁，关于DE长度的计算未能保存下来。

巴比伦人还能计算规则多边形的面积及其与边长的比率。四边形中的正方形和长方形自不必说，梯形的面积也能计算出来。在上面提到过的苏撒泥板中，有一块记载着正五边形的面积与边长平方之比为1；40，正六边形和正七边形的面积与其边长平方之比分别为2；37，40和3；41。该泥板还给出了正六边形的周长与其外接圆的周长之比为0；57，36。

四、美索不达米亚数学成就之评估

根据以上我们对古代美索不达米亚人数学成就的简单介绍可以看出，希腊文明以前的诸民族在数学才能方面是无法与巴比伦人相匹敌的。传统上一般认为，在希腊文明以前的诸文明中，当然也包括古代美索不达米亚文明，不存在真正的数学。主要理由是，这时的数学只是实用的，没有上升到理论高度。现在看来，这种论调至少对古代美索不达米亚的数学来说，是很难站住脚的。迄今所发现的楔形文字数学泥板表明，虽然许多数学问题涉及的是生产和生活的实际，但“脱离实际”的数学问题绝不少见，这从以上我们介绍的有关例题中便一目了然。还是乔治斯·罗克斯（Georges Roux）概括得好：“大多数数学题是为高等学生（甚或智力消遣）准备的练习，而不是关于建筑、土地测量、灌溉以及其他具有实践意义的事项”；巴比伦人“进行抽象思维，他们为数而喜欢数，几乎忘记了数的实际用处”。[12]另外，现存的泥板虽然没有保存下巴比伦人对有关定理、原理的一般性陈述，但大量的相关问题和计算方法的出现绝不是偶然的，巴比伦人显然已经懂得一些基本原理和抽象概念。

当然，古代美索不达米亚数学的缺点也是很明显的。在代数方面，十进位制和六十进位制的并用，造成了一定的混乱和困难，在某种程度上阻碍了数学的发展；对数值的计算不但模棱两可，而且有时对近似值和精确值不加区分。巴比伦几何学的主要特征便是它具有明显的代数性质，一些比较复杂的几何问题往往涉及的只是代数计算，如边长、面积及两者之比等，而缺乏具有鲜明几何特点的证明等。虽然如此，古代美索不达米亚数学成就之伟大是不容怀疑、不容否认的。