我们将用一个有趣的推理故事来说明什么是公共知识。

假设教室中有n个孩子围坐在一起，其中有m个孩子的脸上沾有泥巴。这些孩子除了看不到自己脸上是否有泥巴外，都能看到其他孩子脸上是否有泥巴。老师走进教室，对所有人说：“你们中有人脸上沾有泥巴，有的没有泥巴，知道自己脸上沾有泥巴的孩子请举手。”

假定这群孩子个个都是逻辑学高手，都能够进行严密的逻辑推理，并且他们之间也没有进行信息交流。请问：当老师重复以上问话多少遍时，才会有孩子举手，以及有多少个孩子同时举手？这就是博弈论中著名的“脸上沾有泥巴的孩子”之谜。

为了便于推理，现在我们假定n为10。

在老师未进入教室之前，这10个孩子所组成的群体拥有的公共知识为：“任何一个孩子都具有逻辑推理能力”“每一个孩子都听老师的话”“老师所说的每一句话都是真的”“每个孩子都不清楚自己脸上是否沾有泥巴”。

当老师进入教室，说“你们中有人脸上沾有泥巴”时，就增加了这个群体拥有的公共知识——在他们所组成的这个群体中，至少有一个小孩的脸上是沾有泥巴的。也就是说，“至少有一个小孩的脸上是沾有泥巴的”成了这10个孩子的新的公共知识，即每个小孩都知道这个事实，每个小孩也都知道其他任何一个小孩知道他知道这个事实……

老师接着说：“知道自己脸上沾有泥巴的孩子请举手。”不管是有人举手，还是没有人举手，每个小孩都是能够观察到的。就是说，当老师说过这句话之后，有人举手或没有人举手现象的发生都会改变这个群体拥有的公共知识。

假设这10个孩子中间有1个孩子的脸上沾有泥巴，除了这个沾有泥巴的孩子不知道自己的脸上沾有泥巴之外，其他孩子都能够看到并且知道谁的脸上沾有泥巴。当老师说“你们中有人脸上沾有泥巴”后，脸上沾有泥巴的孩子看到其他孩子的脸上并没有泥巴，他自然会推理出结论：自己的脸上沾有泥巴。

而其他孩子根据现在掌握的信息和已有的公共知识是不能判断出自己的脸上是否沾有泥巴的，所以，当老师说“知道自己脸上沾有泥巴的孩子请举手”后，沾有泥巴的孩子马上就会举起手，而其他孩子则不会采取任何行动。

假如这10个孩子中有2个孩子的脸上沾有泥巴，尽管老师公布了“你们中有人脸上沾有泥巴”这个信息，但2个脸上沾有泥巴的孩子因看到另外有1个孩子的脸上沾有泥巴，所以他们不能据此得出自己的脸上是否沾有泥巴，其他8个孩子也同样不能得出自己脸上是否沾有泥巴。

因此，当老师第一次说“知道自己脸上沾有泥巴的孩子请举手”后，10个孩子都没有举手。这时，所有孩子都知道现在这个情况不是上面所说的只有1个孩子的脸上有泥巴的情况了，换句话说，就是这10个孩子当中至少有2个孩子的脸上沾有泥巴。

当老师第一次问话结束，所有孩子都没有举手时，这2个脸上沾有泥巴的孩子因只看到另外1个孩子的脸上沾有泥巴，马上推理得出自己的脸上沾有泥巴。所以，当老师第二次说“知道自己脸上沾有泥巴的孩子请举手”时，脸上沾有泥巴的2个孩子都举起了手。

如果这10个孩子的脸上都沾有泥巴，当老师第十次说“知道自己脸上沾有泥巴的孩子请举手”时，这10个孩子便会不约而同地举起手。

由上面的分析我们可以得出，这个“脸上沾有泥巴的孩子”之谜的答案是：假定一群孩子中有m个孩子的脸上沾有泥巴，老师第一次到第m-1次说“知道自己脸上沾有泥巴的孩子请举手”时，没有一个学生主动举手，这意味着他们都不清楚自己脸上是否沾有泥巴。当老师第m次说“知道自己脸上沾有泥巴的孩子请举手”时，m个脸上沾有泥巴的孩子都举起了手。

对博弈而言，肯定存在着某些被大家共知的知识，即公共知识，而博弈均衡的产生也正是依赖于这些公共知识，只不过是不同博弈的公共知识不同而已。还可以确定一点的是，在博弈的过程中，大家的公共知识不是参与者知道的唯一内容，除此之外还存在着只有自己知道而别人不知道的内容。这可分为两种情况：一是有些知识博弈双方都知道，但不知道对方知道不知道，也不知道对方是否知道自己知道或不知道；另一种情况是，有些知识博弈的一方知道，而另一方不知道。