这个选择真的是正确的吗？

人们在对“可能性”进行预测时，往往要面对内心的问题：对自己做出的判断是否有信心。人不是机器，对自己做出的结论产生怀疑是非常正常的。实际上，我们有时会问自己：“这个选择真的是正确的吗？”这反映了“自信”这一心理层面的问题。

比如，我们经常使用的“十有八九会是那样”的表述形式，就体现了“十成之中，有八九成会是那样”的一种预测。如果用概率来表示，就是“预计发生那件事的概率是0.8～0.9”。

如果认真思考一下，就会发现这种表述形式是非常奇怪的。之所以这么说，是因为概率本来就是由于无法做出确切判断，才不得不使用的不确切的表达方式。总体来说，概率给人的感觉就是“可能会发生，也可能不会发生”。如上所述，概率本身就是一种带有不确定色彩的表现形式。在表述概率值时，如果再给出“0.8～0.9”的选择范围，就会进一步增加不确定性。这么做到底是为什么呢？

可以说，这正是“缺乏自信”的一种表现。在现实生活中，人们如果缺乏自信，就会准备多个备选答案。比如，“这可能是A干的，也可能是B干的”“这部电影的口碑毁誉参半，有人认为很精彩，有人认为很无聊”，等等。一般来说，当缺乏做出明确判断的自信时，人们就会列举多种可能性。

多重先验理论

如上所述，针对同一事件，人们在内心中往往会给出多个概率。也就是说，人们会分配多个数值，比如发生事件的概率“可能是0.8，也可能是0.9”。在专业术语中，这种适用多个概率模型的决策方式，被称为多重先验（multiple prior）。

从数学角度构建与多重先验相关的概率理论最早可以追溯到20世纪80年代。以色列数学家伊扎克·吉尔伯阿和大卫·施迈德勒最先提出这一理论，并在随后开展了大量相关研究。他们是研究如何通过数学方式表现第七章中提到的“奈特式不确定性”的学者。实际上，这种多重先验理论也是为了表现“奈特式不确定性”而提出的。

伊扎克·吉尔伯阿和大卫·施迈德勒准备了五种与人们行为选择相关的调查问卷，从数学角度证明了所有参与问卷调查的人“与心中按照多重先验进行决策的人是相同的”。这是对前文介绍的弗兰克·安斯库姆和罗伯特·奥曼提出的主观概率理论进行改进后的理论。通过这一理论，确立了多重先验概率理论的可验证性和可操作性。

针对心中拥有多重先验判断的人，伊扎克·吉尔伯阿和大卫·施迈德勒提出了一个设想，先是计算按照多个概率模型实施行动时的结果，也就是收益期望值，然后在此基础上运用第三章介绍的最大最小准则进行决策。

比如某位决策者在面对从未处理过的复杂事件时，内心有两种截然不同的先验判断：第一种是“发生X的概率为0.7，不发生的概率为0.3”；第二种是“发生X的概率为0.4，不发生的概率为0.6”。这令他一时难以抉择，缺乏选择其中一种的自信。在这种情况下，如果发生X后，这位决策者可以得到100万日元，那么他是否应该冒着付出60万日元成本的风险去做这件事呢？关于这一点，应该如何进行判断呢？在选择具体落实这一行动时，当发生事件X后，他会赢得100万日元，扣除成本后，盈利为40万日元。另一方面，如果不发生X，他投入的60万日元就会付诸东流。对此，决策者的内心存在着这两种先验考虑，无法做出倾向于其中某一方的选择。因此，针对行动带来的利润评估也存在着双重结果。

对此，伊扎克·吉尔伯阿和大卫·施迈德勒提出了一个方案，建议使用最大最小准则，分别计算两种先验状态下的期望值（概率平均值），并选择较差的一方作为评估标准。在上文提到的例子中，做出实施行动的选择时，第一种先验判断的期望值为10万日元（100万日元×0.7-60万日元），第二种先验判断的期望值为-20万日元（100万日元×0.4-60万日元）。应该选择两者之中较差的-20万日元作为保底值。在这种情况下，不采取任何行动时的利润为0万日元（保底值），大于采取行动时的保底值-20万日元，由此可以判断，该决策者不应采取任何行动。

这种多重先验判断是在人们缺乏对未来进行预测的信心时产生的。伊扎克·吉尔伯阿和大卫·施迈德勒从数学角度固化了其运用机制。那么，在我们的现实生活中，应该如何充分发挥它的作用呢？

多重先验理论发挥作用的途径主要有两个方面：一是平时积极培养利用多重先验理论进行思考的习惯；二是坚持认为人们是在多重先验理论的支配（不管有意还是无意）下实施行动的，并积极利用这一特点，充分发挥其在自己决策方面的作用。

下面，我将就第一个作用进行说明。对于未来的事情，我们一般都无法掌握大量、准确的信息。如果有某些统计数据还好判断，但是在大多数情况下，我们的判断都是缺少足够的信息支持的。在这种局面下，我们还要面对决策的压力。虽然受困于信息太少导致缺乏自信是客观存在的事情，但是与就此放弃努力不做任何预测相比，我们应该从积极的角度看待缺乏自信的实际情况，养成利用多重先验理论思考的习惯。这是因为与放弃预测相比，多重先验理论有利于我们进行更为有效的思考。

在明确了第一个作用后，我将对第二个作用进行说明。如果人们是在多重先验理论的支配下进行决策的，那么就可以对他们行为样式中存在的看似不合理的部分给出合理的解释。不仅如此，有时我们还可以利用这种理解问题的视角，改善自己的行为方式。也就是说，用多重先验理论来“解读他人的行为”，做出最有利于自己的选择。

在下文中，我将按照第一个作用、第二个作用的顺序，结合具体事例进行说明。

应该如何充分发挥第二意见[1]的作用？

自然形成多重先验并且发挥重要作用的就是医疗领域的第二意见。

“第二意见”是指除了主治医生以外，患者向其他医生咨询关于自身疾病治疗方针的建议。近年来，其重要性备受关注，成了讨论的焦点，逐渐被纳入普通的医疗体系，得到了广泛的应用。这种机制的优点非常明显：一方面，患者在选择自身疾病的治疗方案时，可以更广泛地征求意见，并充分发挥各种资源的作用；另一方面，主治医生可将确定治疗方案的部分责任交还给患者本人，从而减轻医生的责任负担。

这里有一点需要特别注意，当患者得到第二意见时，往往会产生多重先验判断，这是一个不可回避的事实。比如，主治医生认为“通过手术治愈这种疾病的概率为90%，通过用药治愈的概率为20%”。与之相对，给出第二意见的医生则认为“通过手术治愈这种疾病的概率为60%，通过用药治愈的概率为50%”。在这种情况下，对于患者而言，作为治愈的概率模型，会产生两种先验判断：通过手术治愈的概率为90%，通过用药治愈的概率为20%；通过手术治愈的概率为60%，通过用药治愈的概率为50%。

然而，患者是难以对这两种先验判断进行优先级排序的。这是因为大多数患者本身并不具备医学专业知识，而提出上述概率模型的都是拥有医学专业知识的医生。患者缺乏充分的依据对两种先验判断进行比较，并选择自己应该信任的一方。

如果患者根据伊扎克·吉尔伯阿和大卫·施迈德勒提出的理论对“是否进行手术”做出选择，则具体判断过程如下：当选择手术作为治疗方案时，应该参照最差情况下的成功概率0.6；当选择用药作为治疗方案时，应该参照最差情况下的成功概率0.2。无论哪种情况，患者得到治愈的前景都不得不蒙上一层悲观色彩。面对这样的情况，患者恐怕只能选择将自己的命运交给手术治疗了。

统计学中的区间估计

区间估计（interval estimate）是统计学中一个非常重要的概念。其主要是在一定的范围区间内，针对需要推测的参数进行估计的方法。

假设某个特定事件发生的概率为p。此时，从得到的数据中推测出p=0.2的方法被称为“点估计”。比如，在100次事件中发生20次特定事件时，可以推测p=0.2。

与之相对，对推测设定一定范围的方法就属于区间估计，比如推测出的结果为0.3≥p≥0.1时。区间估计的特点在于可以赋予某种“置信度”。最为典型的就是以“95%置信区间”的形式，这是赋予95%置信度的区间估计。其实，95%是便于统计学使用的数值。作为更为严格的标准，也有使用99%这个数值的，甚至还有更严格的标准。这个95%置信区间表示的意思是使用某种特定方法反复进行推测的情况下，实施100次实测时，结果有95次在规定的区间范围（不等式的范围）内。

区间估计与点估计的原理完全不同。本书无法对此进行详细论述，只能简单进行说明，希望大家能够谅解。此外，如果光看表现形式，区间估计似乎与第八章中介绍的上限概率和下限概率相同。但是，实际上，两者是完全不同的方法论。

在实施区间估计时，首先要确立一个假设，将p固定为某个数值。比如假设“p=0.5”时，可以按照95%的正确度来设定范围，预测某个事件会发生多少次。如果设定中奖的概率为0.5，则按照95%的概率计算，抽奖100次时中奖的次数就应该是40～60次之间。

如果实际观测到的数据，也就是实际中奖的次数不在预测的区间内，就应该否定“p=0.5”的假设。也就是说，如果中奖的次数为30次，就说明这个假设是错误的。我们将这种情况称为“假设否定”。

通过这种假设检验的方法，推测出来的置信区间“0.3≥p≥0.1”表示的是经过检验后未被否定的p的集合，也就是“不存在应该否定的证据，所以可以保留的数值集合”。

在读了上文的说明后，可以明确关于事件发生概率的区间估计实际上是一种多重先验。这是因为置信区间“0.3≥p≥0.1”是指“针对相应事件发生的概率设想了多个（无限个连续）先验判断”，也就是说，“p可以是0.1、0.11、0.12……0.19、0.20……0.3”。如果用更为专业的术语来说，区间估计是指具有多个（无限个连续）母集合的概率模型的方法论。

“交投疏落导致股价稳定”的机制

伊扎克·吉尔伯阿和大卫·施迈德勒提出的多重先验理论被广泛用于解释许多不同的经济现象。其中，最为有趣的就是在股票市场中的应用。

经济学家詹姆斯·道（James Dow）和塞尔吉奥·沃朗（Sergio Werlang）从多重先验理论出发，对股票市场中偶尔会出现的“交投疏落导致股价稳定”的现象进行了说明。“交投疏落导致股价稳定”是指“市场交易参与者少、成交量小、股票价格整体基本不变的现象”。

詹姆斯·道和塞尔吉奥·沃朗对于这种现象的分析具体如下：

投资者对某只股票未来价格的走向，往往抱有两种先验判断：第一种是股价上涨的概率较高；第二种是股价下跌的概率较高。

投资者对这只股票可能会采取三种行动：第一种是买入股票；第二种是卖出股票；第三种是观望，什么也不做。买入股票时，当股价升值后，投资者可以获取利润；卖出股票时，当股价下跌后，投资者可以避免损失。在这种情况下，投资者应该如何选择呢？

当选择买入股票时，在认定股价会升高的第一种先验判断下利润是正的，在认定股价会下跌的第二种先验判断下利润是负的。因此，较差一方的利润（保底值）是负的。

当选择卖出股票时，在第二种先验判断下利润是正的，在第一种先验判断下利润是负的。因此，较差一方的利润（保底值）仍是负的。

当选择第三种“观望，什么也不做”的行动时，无论在哪种先验判断下利润都是0。因此，较差一方的利润（保底值）就是0。

由此可见，在使用最大最小准则的情况下，应该选择“观望，什么也不做”。这就是詹姆斯·道和塞尔吉奥·沃朗分析的“交投疏落导致股价稳定”的机制。

为什么股价上涨往往是渐进式的，下跌却往往是断崖式的？

在股市中有一种说法叫“上涨需百日，下跌仅三日”，形容的就是“股价上涨时往往是渐进式的小幅上涨，而下跌时往往是断崖式的快速下降”的现象。对此，许多投资者都有切肤之痛。

著名经济学家拉里·爱泼斯坦（Larry Epstein）和马丁·施耐德（Martin Schneider）使用多重先验理论，对这种现象进行了分析。下面，我将尽可能通过简单的具体例子进行总结概括。

假设投资者预测现在持有的A企业的股票，在一个月之后股票价格将达到100日元。

此时，媒体爆出了关于A企业的某个消息。如果消息的内容是真实的，那么A企业的股票价格在一个月之后将变为x日元。但是，投资者内心对于消息的可信性持有两种先验判断：第一种判断是“应该高估消息的可信度”，在这种情况下，投资者会对一个月之后的预期股价进行修改，也就是对原预期价格100日元与新预期价格x日元之间的部分进行三等分，选择更接近新预期价格的部分作为一个月之后的预期股价；第二种判断是“应该低估消息的可信度”，在这种情况下，投资者会对一个月之后的预期股价进行修改，也就是对原预期价格100日元与新预期价格x日元之间的部分进行三等分，选择更接近原预期价格100日元的部分作为一个月之后的预期股价。

在上述假设的前提下，如果投资者使用了基于多重先验理论的最大最小准则，会出现怎样的推理结果呢？下面，我们就一起来分析一下。

我们先假设传来的是利好消息，带动股价大幅上涨，股票新预期价格为130日元。

此时，如果选择第一种先验判断，则对100日元和130日元之间的部分进行三等分后，选择更接近130日元的120日元作为预期股价。如果选择第二种先验判断，则对100日元和130日元之间的部分进行三等分后，选择更接近100日元的110日元作为预期股价。在这种情况下，保底值为110日元。因此，投资者会将一个月之后的预期股价从100日元修改为110日元。有一点非常重要，在这一修改中，选择的是“应该低估利好消息的可信度”的先验判断。也就是说，投资者在得到利好消息时，往往会低估其可信度。

我们再假设得到的是利空消息，情况则完全相反，股票新预期价格为70日元。

此时，如果选择第一种先验判断，则对100日元和70日元之间的部分进行三等分后，选择更接近70日元的80日元作为预期股价。如果选择第二种先验判断，则对100日元和70日元之间的部分进行三等分后，选择更接近100日元的90日元作为预期股价。在这种情况下，投资者的保底值为80日元。因此，投资者会将一个月之后的预期股价从100日元修改为80日元。在这一修改中，利用的推理是“应该高估利空消息的可信度”的先验判断。

也就是说，当投资者得到利好消息时，只是将预期股票价格向上涨10日元的方向进行了调整。但是，当投资者得到利空消息时，却将预期股票价格向下跌20日元的方向进行了调整。也就是说，当得到利好消息时，预期股价会向接近原预期价格方向调整，当得到利空消息时，股价会向接近新预期价格方向调整。这反映出了人们“对利好消息反应冷淡，但对利空消息反应强烈”的心理特点。这正是拉里·爱泼斯坦和马丁·施耐德对“上涨需百日，下跌仅三日”这一股市现象的科学诠释。

换个角度看，缺乏自信就是行事慎重

本章对伊扎克·吉尔伯阿和大卫·施迈德勒的决策理论——多重先验理论进行了详细阐述。上文已经多次提到，产生多重先验判断是对推理缺乏自信的表现。然而，缺乏自信本身并不一定就是坏事。缺乏自信往往是推理依据少，无法做出确切判断的结果。因此，可以说，在这种状态下做出的推理，往往是更为慎重的。从另一个角度来看，明明没有确切依据，却总是直接做出判断的人才是草率的、鲁莽的、不负责任的。可以毫不夸张地说，换个角度看，缺乏自信恰恰是行事慎重的体现。

多重先验理论是一种技巧，在它的支配下，当推理遇到困难时，人们并不会就此停止思考、自暴自弃，由于其具有多重性，因此人们可以尽最大可能对推理进行量化分析。在熟练掌握这一技巧后，人们可以扬长避短，充分发挥缺乏自信的积极作用，做出更有意义的决策。

本书的第二部分围绕人们迷惘彷徨、缺失自信时的决策方法，展开了介绍。许多人一旦陷入丧失自信的状态，就会放弃思考，不敢表达自己的想法。这种做法偶尔会带来积极的结果，但在更多的情况下会招致恶果。

迷惘彷徨、缺失自信是人类朴素的天性，并不需要批判摒弃，只要不是深陷迷惘之中无法自拔就没有太大问题。但是，如果有人因此陷入因循守旧、不思进取的状态，就无法取得任何进步。

在这种情况下，我们可以试试“数值量化”的方法。作为量化的方法，我介绍了“惊奇”“上限概率和下限概率”“信任度函数”和“多重先验判断”四种决策方法。

世间的事往往都是充满不确定性的。但是，在面对这些不确定性时，我们可以通过数值进行分析，以冷静的姿态沉着应对。如果拙著能够发挥一丝作用，帮助读者解决生活中遇到的烦恼，我将不胜欣慰。

[1]第二意见（second opinion）是一个医学术语，指患者在罹患疾病或遭受意外伤害并已经获得诊断（第一意见）的基础上，咨询世界各地的顶尖医疗机构所组成的咨询网络，由其提供专业书面医疗建议。第二意见主要针对危及生命或改变生命状态的疾病，如癌症、先天性心脏疾病等。