在中国古代，天文学和数学既是两个独立发展的不同学科，又存在着密切的联系。天文学的发展，有赖于数学的进步，往往又是当时数学发展水平的集中体现。秦汉时期的科学家们，在整理和继承以往天文学和数学成就的基础上，结合当时劳动人民的生产和生活实践，又把它们推到了新的高度。如《太初历》《三统历》《史记·天官书》和《灵宪》等天文学著作的出现，各种天文仪器和天象观测手段的发明与运用，以及各种天体结构理论的提出，都标志着中国古代独特的天文学体系的初步形成；而《九章算术》的出现，则是这一时期数学发展水平的突出代表。

一、历法的修订与完善

中国是一个古老的农业国家，农业生产在社会经济生活中占有举足轻重的地位。而要安排好农业生产，又离不开科学的历法。中国古代历代统治者都十分重视历法的修订工作，把它作为封建政治和社会生活中的一件大事来抓。这是众所周知的。实际上，中国古代的历法包含有更丰富的内容，它可以说是一门研究日月五星运动的科学。具体说来，它包含以下几方面的内容：（一）朔望和节气时刻的推求，以及和这些有关的闰法的确定；（二）日月食的预报；（三）五星位置的推算；（四）恒星位置的测定；（五）晷影和刻漏的测量。当然，就中国古代历法体系本身而言，它也有一个不断完善的过程。

公元前221年，秦始皇统一中国，建立了中国历史上第一个统一的中央集权的封建国家。秦皇朝建立后，没有着手制订新的历法，仍沿用原来的颛顼历。这一历法早在公元前366年就被秦国采用。由于秦始皇推崇当时颇为流行的“五德终始”说，认为“周得火德”，而秦“获水德之瑞”，应“改年始”，因而将颛顼历的历元由原来的朔旦立春，改置于十月，即以十月为每年的第一个月。至于是否还有其他的变革，由于颛顼历本身早已失传，不得而知。

西汉皇朝建立后，仍沿用秦时的颛顼历。这可能是因为：一、秦汉之际连年不断的战争，给社会政治、经济和文化生活造成了极大的破坏，各行各业都处于百废待兴的状态，汉朝中央政府一时无力去进行历法的修订工作；二、据《史记·历书》记载，汉高祖刘邦也根据“五德终始”说，自认为得到了水德的瑞应，与秦相同，因而就承袭了秦代历法。到汉文帝时，鲁人公孙臣上书，声称汉得土德，而非水德，于是改历之议兴起。汉武帝太初元年（前104年），学者们终于制订出了一部新的历法，代替了古老而业已过时的颛顼历。这就是《太初历》。

客观地说，这次历法变革有它的必然性。由于颛顼历行用到汉武帝时已有一百多年，所累积的误差致使朔日、晦日出现了新月，而满月不出现在望日，历法已与天象不合；又如岁首的安排，系出于政治考虑，使得农事的开始与历法的岁首相差一季，很不协调。历法必须与天象相符，与季节的变换和农事的安排相适应，这是历法的生命力所在。因而颛顼历本身在历年行用中所暴露出来的种种缺陷，乃是触发这次历法变革的主要原因。又，根据当时的推断，汉武帝元封七年（前104年）十一月甲子日夜半恰逢合朔交冬至，这是一个十分难得的改历良机。于是，由司马迁和壶遂等人上书，汉武帝下诏命人制订新历。经过反复论证，最后选用了与实际天象比较接近的由邓平、落下闳所献的历法，是为《太初历》。

《太初历》的产生，是西汉时期天文学发展的一项重要成就。首先，由于《太初历》是建立在天文实测的基础上的历法，它克服了原来颛顼历与实际天象有时不符的弊端，因而更加科学，经得起实践的检验。据说，该历制订27年后，太史令张寿王曾以推算起点不准、合朔时刻亏了3／4日为由，要求修改《太初历》，启用殷历。政府组织20多人验历，用了3年时间，结果证明《太初历》与实际天象基本吻合。这开创了观天制历、以天验历的好传统。其次，《太初历》采用夏正，以寅月为岁首，与一年的农事起始时间相符，适应了人们以春夏秋冬四季为一年的习惯。再次，《太初历》还规定了以无中气之月为闰月，比过去以年终置闰的方法更为合理，可使月份与节气相对固定。此外，《太初历》还重新测定了二十八宿的距离，第一次明确提出了交食周期的概念和数值，测定了比以前历法更为准确的五星会合的周期值，并且制订了五星在一个会合周期的动态表，建立了一套定量地预报任一时期五星位置的方法，等等。由此可见，《太初历》确实是当时最先进的历法，它不仅是对以往科学技术尤其是历法研究方面所取得的成就的继承与发扬，而且有所创新，是当时社会发展和生产力水平提高的一个重要标志。而从前文所述的中国古代历法体系所包含的五项内容看，它已具备了前四项，几乎是当时的一部天文学年鉴和天文年历。

对于《太初历》的最初修订，是在西汉末年。刘歆是一位经学大师，也是一位杰出的天文学家。在天文学领域，他有众多的发现。如他发现木星运行周期不到12年，以12年作为周期计算，岁星就会出现“超辰”现象，并由此提出了一种岁星超辰的计算方法；他还计算出了比《太初历》更精确的朔望月数值和回归年数值，等等。对于当时所通行的历法《太初历》，他经过修订，提出了《三统历》，并撰写了《三统历谱》。《三统历》使用的仍是《太初历》的数据，其所以用三统命名，是因为从《太初历》历元时刻起算，经1539年之后，朔和冬至又回到同一天的夜半，故以1539年为一统；经三个1539年后，朔和冬至又回到同一个甲子日的夜半，故谓之三统。按照刘歆的理论，每过一统就要更换一个朝代，也就要改一次正朔，易一次服色，从而表示接受了这一统的天命。可见，刘歆造《三统历》，与他当时作为王莽的国师的身份以及王莽篡汉的政治企图有密切的关系。

不过，作为一部历法，《三统历》也有其值得称道之处。如《太初历》规定以4617年为元，虽然满足了一元三统的要求，却不能从哲学上给以满意的解释。刘歆既精于律历术数，又通经学，经过他的发展，历法的内容变得更丰富、形式更完善了。刘歆的《三统历》载于《汉书·律历志》，共分七个部分：统母、纪母、五步、统术、纪术、岁术和世经。每一部分都只记算法，不标计算结果。以后历朝格式虽有不同，但大要不变，成了修订历法的定式。再有，由于《太初历》已失传，而《三统历》却被《汉书·律历志》作为蓝本保存下来，使我们得以根据《三统历》，大致了解《太初历》的内容。

《乾象历》的另一个重要创新是将月行迟疾引入历法。战国时期，人们就认识到了五星运行有迟疾这一特点；到东汉时，经学大师贾逵发现月有迟疾。《乾象历》将这一成果纳入历法。月有迟疾产生的原因，一是月球运行的轨道是椭圆形，在近地点时，引力增加，速度加快，远地点时引力减少，速度变慢；二是由于白道与赤道斜交造成的视差。在二至前后时月行迟，而在二分前后月行速。迟疾法的使用，无疑使天象与历法更加吻合。根据月亮运动的这种不均匀性特征，刘洪定出了比较精确的近点月长和一个近点月中每天月亮的实行度数，并用来修正根据月亮平均运动而算出的平朔和平望，从而得到定朔和定望，有助于更准确地预报交食。此外，《乾象历》还第一次提出交食食限的数值，重新测定了五星会合周期。

刘洪的这一系列贡献，使我国古代历法体系更加充实、完善，代表了秦汉400余年间我国历法修订的最高水平。可惜，这样一部具有划时代意义的优秀历法，未能得到行将崩溃的东汉中央政府的采纳。

二、天象的观测与记录

中国具有悠久的天象观测和记录的优良传统。在甲骨卜辞里就有了天象记录，春秋战国时期的天象记录则更多。到秦汉时期，天象观测和记录有以下几个明显的特点：一是记录趋于齐备；二是记录更加详尽精细；三是观测手段更加先进、完备。

《史记·天官书》提供了当时人们对于天体现象认识的最完备的记录，也是中国流传至今的最早系统叙述星官的著作。该书收录恒星558颗，比先秦文献所载增加了350多颗。同时，针对战国时期不同星官划分体系并立的局面，司马迁在早已存在的北斗、四象、二十八宿的星官体系的基础上，进一步发展成为五宫二十八宿的完整体系。该体系的主要特点是：（1）它增加了中宫，把包括北极星、北斗星的拱极天区明确划分出来；（2）以统一的体制为全天星官命名，经过命名的星官组成了一个天上王国；（3）穿插了认星方法，记述了星官间的相对位置，描绘了一些星官的观测特征。这就为人们认识天象提供了一幅基本的框架图。

司马迁所描绘的新的星官体系是以中宫为中心而展开的。中宫是他想象中的天上社会的政治中心。而北极星则犹如天帝，旁有三星像三公大臣，后有钧曲四星如同嫔妃，外部环绕的十二星像藩臣护卫。他说：“斗为帝车，运于中央，监制四乡。分阴阳，建四时，均五行，移节度，定诸纪，皆系于斗。”即是说，北斗能分辨阴阳，建立四时，调和五行，推移节气，确定星纪，充分表现出中宫至高无上的权威。东宫有角、亢、氐、房、心、尾、箕七宿，它们形成苍龙之象，是天帝的布政之所。南宫有井、鬼、柳、星、张、翼、轸七宿，它们形成朱雀之象，是天帝的别宫，其中轩辕被描述为“女主”，即帝后，与朱雀取得一致。西宫有奎、娄、胃、昂、毕、觜、参七宿，它们形成白虎之象，是天帝的车库、粮草库及游猎场。北宫有斗、牛、女、虚、危、室、壁七宿，它们形成玄武之象。该宫十分庞杂。司马迁对这一宫的许多星官也作了较形象的描绘，如危宿像屋顶，南方众星似羽林军；织女成了天帝的孙女，王良五星被看成是天帝的御官，旁有天马，故有“王良策马，车骑满野”，等等。总之，《天官书》所描绘的星官体系，是一个以中宫为中心，由众多恒星所组成的有机整体，俨然如一个有统治秩序的天上社会。这一星官体系，虽然不免有一些牵强附会的因素，但它基本反映了日月五星的运行状况，表述了二十八宿的大体位置及辨认方法，是当时人们对于天体观测与认识的总结，为进一步进行恒星观测提供了方便。

不仅如此，《天官书》还对许多天体现象作了精细的观测记录。如《天官书》记录了恒星的颜色、亮度和亮度变化，书中说：“太白白比狼；赤比心；黄比参左肩；苍比参右肩；黑比奎大星。”司马迁将天狼星作为白亮的标准；心宿二是红而亮的标准，特别是参宿四作为黄色标准引起了现代恒星演化学家的关注，因为该星现在是一个红巨星，它是在司马迁之后才抛出气体外壳，逐渐演化成今天这个样子的。又书中将星分成大星、明星、一般星、若见若不见等类型，反映了当时人们对于星的亮度等级的认识。《天官书》在描述长沙星时，说其“星星不欲明，明与四星等”，就是在该星变亮时，其亮度与周围轸宿四星差不多，这是对恒星亮度变化的正确认识。此外，《天官书》还有许多关于行星的科学认识，如“察日月之行以撰岁星顺逆”，即用日月运行方向来考察木星是顺行还是逆行，与日月运行同方向，谓之顺行，否则为逆行；又如“其趋舍而前曰嬴，退舍曰缩”，指出行星观测位置会超前或落后于预推位置，这实际上是当时使用的恒星周期不准确造成的，也与行星视运动有逆行有关，等等。书中还记录了太阳系其他天体的现象，如彗星、流星、陨石、黄道光、火流星等，也记录了极光、云气、交食、交食周期、突发变星等地球物理现象和天象，内容十分丰富，堪称为当时的一部天文学辞典。

秦汉时期，对于天象记录的趋于完备、精细还反映在其他一些典籍中。如班固所著的《汉书·五行志》中就对太阳黑子有准确的观测记录，书中记载：“成帝河平元年……三月己未，日出黄，有黑气大如钱，居日中央。”汉成帝河平元年为公元前28年，这是世界上公认的最早的对太阳黑子的记录。《汉书·天文志》记载：“元光元年六月，客星见于房。”汉武帝元光元年是公元前134年，这是中外历史上都有记载的一颗新星，但西方的记录没有年月方位。《后汉书·天文志》记载：“中平二年十月癸亥，客星出南门中，大如半筵，五色喜怒稍小，至十六年六月消。”汉灵帝中平二年为公元185年，这是世界上最早的超新星记录。又如《汉书·五行志》对于彗星的记载：“元延元年七月辛未，有星孛于东井，践五诸侯，出河戍北，率行轩辕、太微、后日六度有余，晨出东方。十三日夕见西方……锋炎再贯紫宫中。……南逝度犯大角、摄提，至天市而按节徐行，炎入市中，旬而后西去，五十六日与苍龙俱伏。”“孛星”就是彗星。汉宣帝元延元年为公元前12年。这里对彗星的运动路线、视行快慢以及相应的时间都作了详尽的记载，是一份难得的研究彗星运动规律的材料。

日晷（汉）1897年内蒙古托克托出土

秦汉时期天文学的进步，天体观测记录的趋于完备、精细，是与天体观测手段的改进、天文仪器的制作分不开的。中国古代的天体测量仪器，主要有浑仪、圭表、漏壶、浑象和星图等。其中浑仪、圭表、漏壶，汉以前就有，至汉代有了改进；浑象为汉代的发明；战国时有星表，到汉代发展成为星图，使其成为天文观测必不可少的工具。

中国古代的浑仪与古希腊的不同，古希腊的浑仪以黄道坐标为主，而中国的浑仪是以天赤道坐标为主。在汉代，浑仪有几次改进。

铜漏壶（西汉）1976年内蒙古杭锦旗出土

武帝时制订《太初历》期间，落下闳改进了浑仪，用它测量了二十八宿距离等数据。到两汉之际，浑仪已经有一个固定的赤道环和绕轴旋转并附有窥管的赤经环组成，两环上都刻有周天度数，可以测定天体的入宿度和去极度，所谓去极度就是天体距离天北极的度数，相当于赤纬的余角。东汉前期，民间天文学家傅安第一次给浑仪添加了一个黄道环，这和赤道环成24°夹角。这一黄赤交角和理论值的差大约只有一分。利用黄道环可以观测日月行度。在这一基础上，东汉天文学家张衡又给浑仪添加了地平环和子午环。经过这一系列的改进，浑仪作为中国古代一种重要的天文观测手段已基本趋于完善。

漏壶的制造，自东汉张衡开始，已经有两级补偿式漏壶的创制。两级补偿式漏壶就是有上下两个漏壶，上一级漏壶的水漏滴到下一级漏壶，去补偿下一级漏壶漏滴出去的水，使下一级漏壶的水基本上保持一定的水面高度，这样下一级漏壶漏滴水的快慢可以基本保持不变。漏壶的改进，使时间的测量精度更加提高。

浑象是秦汉时期天文学上的一项重要发明。西汉宣帝时，耿寿昌首创了演示天象的一种仪器，称之为浑象，用铜铸成，它跟现今的天球仪相似。到东汉时，张衡又在此基础上，发明了水运浑象。他用一个直径大约五尺的空心铜球表示天球，上面画着列宿和互成24°交角的黄道赤道，球外有地平圈和子午圈，子午圈上支架着一根天轴，天轴跟地平圈大约成24°的交角，天球可以绕天轴转动。天球转动的时候，有一半露在地平圈之上和四时的天空星象相符；有一半隐在地平圈之下。张衡还利用漏壶流水的等时性，用漏水做动力，巧妙地通过齿轮系统的转动，驱使天球每日均匀地绕天轴旋转一周，这样浑象也就自动地、近似正确地把天象的一日变化演示了出来。这是后世得到充分发展的水运浑象仪的鼻祖。浑象的发明，为人们观测天体的运动变化提供了一个形象、直观、简便的途径，为中国古代天文学的发展作出了重大贡献。

星图的制作是对恒星位置观测成果的形象记录，用来帮助进行天文观测。中国的星图起源于所谓“盖图”，据《周髀算经》记载，它是用来演示盖天说的。它是把在中国中原地区全天可见的星象画在一张圆形的图上，圆心是北天极，外面有几个同心圆，最小的圆圈是恒显圈，最外的圆圈是恒隐圈，中间的圆圈是天赤道。图上还画有表示黄道的圆圈。随着对天象观测结果的积累，星图所记录的星辰数目也逐渐增多。到东汉初年，星图上载的恒星有118宫，计783颗。这一数目比《史记·天官书》所记载的又有了增加。由此也可以看出天文观测手段的改进对于天文学发展的促进作用。

三、天体结构理论

天、地、日、月、星辰是怎样产生的，它们之间的关系如何，又是怎样运动的？这些是天文学发展中必然会遇到的问题，也是古代思想家和科学家们经常思索、研究的问题。世界上所有历史悠久的民族对这些问题都作过自己的回答。早在先秦时期，中国古代的先哲们就对此作过比较深入的探讨。秦汉时期的科学家们在前辈业已取得的成就的基础上，提出了独到的见解，并且初步奠定了中国古代传统的天体结构理论。

张衡塑像

东汉时期著名的科学家张衡，不仅在天文历算、仪器制作上卓有成就，而且在天文学理论上也颇有建树。张衡（78—139年）字平子，南阳郡西鄂城（今河南南阳北石桥镇附近）人，曾任太史令等职。在他的科学名著《灵宪》中，对宇宙的生成和演化有详细的描绘。他说，宇宙的生成和演化可以分为三个阶段：第一阶段为“太素之前”，其中只是一片空虚，其外什么也没有，故“不可为象”，但“道”的“根”却含在里面；第二阶段为“太素始萌”，道根的存在使能“自无生有”，出现了“混沌不分”的状态；第三阶段为“元气剖判”，此时“刚柔始分，清浊异位。天成于外，地定于内”。应该说，张衡的这一观点与先秦时期道家的本体论以及汉代道家的观点有某种直接的渊源关系。如战国时期的宋、尹学派就已经有气是宇宙万物本原的思想。到了西汉，由淮南王刘安和他的门客编著、成书于汉武帝时代的《淮南子》一书，也认为天地日月星辰都是从元气派生出来的，它们都有一个发生发展的历史，是元气在它发展的不同阶段上的产物。这一关于宇宙演化的思想，是符合辩证法的。不过，其元气是从虚无中产生的说法，无疑是唯心主义的。在《灵宪》一书中，张衡还提出了宇宙无限的看法。他说：“宇之表无极，宙之端无穷”，明确表述了宇宙在空间和时间上都是无穷无尽的思想。这在当时是难能可贵的。此外，《灵宪》中还有不少对天体的精辟论述，如说“日譬就火”，“火则外光”，将太阳描述为一团火很有见地；又如说“目光生于日之所照，魄生于日之所蔽，当日则光盈，就日则光尽”，是关于朔、望日相变化的科学论断，等等。总之，《灵宪》与司马迁的《史记·天官书》一样，是一部不朽的古典天文学名著。

在中国古代，人们对于宇宙结构、日月星辰间的关系也作了广泛的探讨，并提出了各种不同的见解。到了汉代，逐步形成了言天之家三足鼎立的局面，即所谓“言天三家：一曰盖天，二曰宣夜，三曰浑天”[1]。这也是中国古典天文学关于宇宙结构的基本看法。

早在西周时期，就已经有人提出了盖天说，认为“天圆如张盖，地平如棋局”[2]，说的是天圆地方。战国时期，有人对此提出怀疑，将其修改成为“天似盖笠，地法覆槃”[3]，认为天像盖在上面的一顶斗笠，地像倒扣着的一只盘子，就是说地面不是平的而是拱形的。到了西汉，仍旧有人坚持这一说法。成书于西汉后期的《周髀算经》就是盖天说的代表作。《周髀算经》的盖天说，袭用了战国时期的天形如笠说，认为天和地是两个相互维持相同间距的弧面，天中央是极，与极相对应的地面位置谓之极下，“天离地八万里”。太阳绕极旋转，冬至时太阳处在最外道，故天弧面的外沿大圆即冬至日道叫“外衡”。外衡平面在极下高出地面两万里，距极则是6万里。这一说法，克服了过去天圆地方说不能解释天地四角不相合的漏洞，是对天地结构认识的进步。此外，《周髀算经》的盖天说，还有了不同地理纬度处同一天正午表影长度不等的概念，解决了方位测量的理论根据和实测方法，并有了不同地域气候不同与太阳相对位置有关的初步印象。但是，由于《周髀算经》盖天说的数学模型及数据并不正确，其说法被越来越多的天文观测事实所否定，因而到西汉末年在哲学家扬雄提出了难盖天八事后，影响日渐缩小。

宣夜说的最早起源已不可考。据《晋书·天文志》记载：“宣夜之书亡，惟汉秘书郎郗萌记先师相传云：‘天了无质，仰而瞻之，高远无极，眼瞀精绝，故苍苍然也。譬之旁望远道之黄山而皆青，俯察千仞之深谷而窈黑，夫青非真色，而黑非有体也。日月众星，自然浮生虚空之中，其行其止皆须气焉。……’”郗萌生活于东汉前期，比张衡略早。宣夜说认为，并不存在一个有形质的天壳，人看到的天无边无垠。日月星辰就在这无边无际的虚空中飘浮，互不相关，绝无联系，或进或退，或迟或疾，听其自然，无所根系。这一学说比较接近现在所认识的宇宙。这比起古希腊的天文学家亚里士多德和托勒密曾提出过的“天与地像一个同心水晶球”的观点要先进得多。[4]但是，由于这一学说仅停留于思辨性的论述上，对于天体的活动缺少具体的说明，因而在当时影响并不大。

相比之下，浑天说是“言天三家”中最具有影响的一家。浑天说产生的年代可以追溯到战国时期。它是人们在使用仪器测量天体位置的基础上产生的一种天体结构理论。人们在使用赤道式简单仪器观测时，就能发现各个天体都有围绕北极的东升西落的视运动，运动速度均匀。由于对圆早有认识，不久这种运动轨迹就同圆联系起来而产生了天赤道、黄道等概念，从而为浑天说的产生创造了条件。到了汉代，由于浑仪的制作，这一学说日渐成熟。汉代许多著名的天文学家如落下闳、耿寿昌、鲜于妄人、张衡、蔡邕等人，都为浑天说的发展和完善作出了贡献。浑天说的代表作是张衡的《浑天仪图注》。它指出：“浑天如鸡子，天体圆如弹丸，地如鸡中黄，孤居于内，天大而地小。”这就是说，天是一个浑圆的壳，而地则是居于天壳中间的一个圆球。浑天说还认为，日月星辰都是缀于天壳之上，随天壳绕着过南北极的轴而运动的。这是一种以地球作为中心的宇宙结构理论。由于这一理论比较近似地说明了天体运行的有关现象，同时又为浑仪的制作提供了理论依据，因而长期成为我国古代居于主导地位的一种宇宙理论。当然，浑天说作为一种宇宙构造学说也不是没有缺陷，随着生产力的发展和科学技术水平的提高，浑天说逐渐被新的宇宙理论所取代。

四、《周髀算经》中的数学运算

中国传统数学自古就受到天文历法的推动，在古代的天文、历法著作中，往往有丰富而又深刻的数学内容。《周髀算经》虽然主要是一部天文著作，是“盖天说”的代表作，但其中包含了许多数学内容，反映了当时人们所取得的数学研究成就，也可以说是流传至今的中国最早的数学著作。

关于《周髀算经》的成书年代，学者们向来有不同的意见。一般认为，书中有春秋以前遗留下来的文字，主要为第一部分，由汉人补缀而成，补缀成书的时间大约在西汉成帝与东汉桓帝之间的百余年中，成书后继续由后人修饰、注解和增补，才有了二卷本和各家注本，因第一部分只有265字左右，所以该书主要是由汉人写成的。

在《周髀算经》中，还出现了许多复杂的分数运算。例如，在计算小岁、大岁、经岁、小月、大月、经月末月球对其故舍过不及的度数（均称“不及故舍”）时，用到如下运算：

此外，《周髀算经》中还有许多重要的数学概念，如关于规矩方圆、方向线、分数的四则运算、开方法的论述，等等。这里限于篇幅，不再作详细的介绍。

五、中国最早的数学专著——《九章算术》

在流传至今的中国古代数学著作中，《九章算术》是最早的一部数学专著。关于该书的作者及成书年代，史书缺乏明确的记载。一般认为，它不是一时一人的著作，而是在漫长的岁月里，经过很多人修改补充而逐渐发展、完备起来的。我们现在只知道西汉初年的张苍、耿寿昌等人曾经对此书作过增补。据研究，它最后成书至迟在东汉前期（1世纪），但是它的基本内容却在西汉后期（前1世纪中叶）已经大体定型。《九章算术》是中国古代数学的经典著作。它既包含有古代早已解决了的数学问题，也有西汉中期人们新获得的数学知识，是秦汉时期中国数学方面的集大成之作。它的出现，标志着中国古代数学体系的形成。

今本《九章算术》是从《永乐大典》中辑出的刘徽注本，全书收有246个数学问题，分为九类，就是“九章”。每题有答案，一题或若干题后有解法。《九章算术》的分类，不是按计算方法来分的，而是根据题目的内容划分的。就计算方法而论，各章不能不常常异同互见。概略而论，方田章中所述的分数计算法，粟米、均输、衰分等章中的比例问题，以及盈不足章中的盈亏问题，是属于算术内容的；方田、少广章中的面积计算，商功章中的体积计算以及勾股章中的直角三角形的有关计算，属于几何问题；少广章中的开方术（开平方和开立方），方程章中的方程及正负数问题有人把它们归入代数问题；还有一些题目，涉及等差级数、等比级数、矩阵等问题。其内容之丰富多彩，由此可见一斑。

《九章算术》的第一章名为“方田”。这一章的主要内容是对各种田亩面积的计算，其中涉及分数的四则运算法以及为此必须使用的约分、通分法。在书中，分数的加法称为“合分”，运算的步骤是：“母互乘子，并以为实，母相乘为法，实如法而一，不满法者，以法命之；其母同者，直相从之。”就是将某一分数的分子依次同其余各分数的分母相乘作为新分子，所有分数的分母相乘作为新分母，这叫做通分；各新分子相加作为和之分子，新分母作为和之分母，就得到了诸分数之和。分数的减法叫做“减分”，其算法略。分数的乘法有两种：真分数相乘名为“乘分”；代分数相乘名为“大广”，其算法与今相同。分数的除法名为“经分”，运算的法则是先通分，使有相同的分母，然后按整数除法进行。例如《经分》第二题为：“有三人三分人之一，分六钱三分钱之一，四分钱之三，问人得几何。”其算法是：

关于约分的方法，《九章算术》也有明确的记载：“可半者半之，不可半者副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。”“可半者半之”，就是首先看分母、子能否用2约简，因为这最容易判断。不能被2除时再用求等法约简，求等的方法是“副置分母子之数，以少减多，更相减损”。“副置分母、子之数”，就是把分母、子之数分别布在筹算板上；“以少减多”，是从多中减去少，即从大数中减去小数；“更相减损”即辗转相减，如果分母大于分子，先用分母减分子，减一次或若干次之后，就会出现分母小于分子的情况，这时再用分子减分母，等减到小于分母时，又重新以分母减分子。这样一直进行下去，直至分母与分子相等，这个等数就是分子分母的最大公约数。所以，中国古代算书把约分叫做求等法。现代算术中，求二整数的最大公约数方法有二，一是辗转相除法，一是求分母子的公因子法。前者正是《九章算术》中“更相减损”法的演变，不过更为简单。但在当时人们就能解决这样一些较为复杂的数学问题，还是十分难得的。

值得一提的是，自《周髀算经》出现勾股定理以后，《九章算术》又将其应用范围大大扩展了。在《九章算术》中，不但应用勾股定理由直角三角形的两边求第三边，还进一步推求勾、股、弦及其和与差共九个量之间的关系，已知其中任意二个量，就可以求出其余各量。又如，它还给出了直角三角形内切圆、内接正方形的求法，即所谓勾股容圆、勾股容方问题。对于一般三角形相似的条件，书中虽没有专门论述，但凡是某一直角三角形的任一条直角边和弦为另一直角三角形的一条边和弦的延长线或部分重合，就认为它们是相似的，直接应用对应边的关系相互求证，即所谓：“旁要云者，不必实有是形，可自旁假设要取之。”这些，都说明比起《周髀算经》来，《九章算术》在数学研究领域又有了很大的提高。

开平方术、开立方术以及线性方程组的解法，是我国古代数学的重要内容，它们之间又存在着非常密切的关系。通过开平方术、开立方术，不但可以求解二元二次方程、二项三次方程，而且可以解一般的二次数值方程和三次数值方程。它也是我国古代解高次数值方程的基础。在《九章算术》中，对这些算法记载十分详尽。开平方的根据是由正方形的面积求边长。求面积时，正方形田的面积是一边自乘，那么已知面积求正方形边长时就导致了开平方的提出。在《周髀算经》中就已经有了开平方法，其中给出了一些数字的平方根，但直到《九章算术》才详细叙述了开方的方法。开立方法是在计算立方体边长的要求下产生的。《九章算术》中开方法有很高的数学水平。到11世纪中叶的宋代，在九章阐发的开立方术的基础上又产生了开任何次幂法，即所谓“增乘开方法”，还创造了天元术及高次方程的解法，使我国的开方术在世界上一直处于领先的地位。欧洲直到17世纪开立方法仍很落后，只相当于我国《九章算术》的水平。此外，《九章算术》中还介绍了许多方程组的解法。方程章中共记载了18题，其中最高的是五元一次方程组，解法同现代数学中联立方程组的解法一样，采用的是消元法。其中用算筹解联立方程组时在筹算盘上布算只布各项系数，而且纵列，形式与现代数学中的行列式完全相同，其计算法在行列式中也是成立的。这项成就也比欧洲数学发展水平早，欧洲直到16世纪才有人研究三元一次方程组，有关线性方程组的理论及其解法直到17世纪末才建立。

另外，《九章算术》在解联立方程组时，为了消去某一项，很容易出现其他项减数大于被减数的现象，这就导致了负数的出现。《九章算术》中用赤筹表正数，用黑筹表负数，正负数的加减法称为正负术。内容是“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之；其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之”。其中前四句是减法法则，后四句是加法法则；“除”表示减掉，“益”表示相加。这里不仅提出了正负数的概念，而且还给出了加减运算法则。正负数的提出，是中国数学发展史上的一大成就，对数学的发展有着十分重大的意义。在世界上，其他国家最早是印度人于7世纪才最先提出负数；而在欧洲，直到17世纪才出现了第一次较为圆满地论述负数的著作。

以上只是对《九章算术》内容作了一个较为粗略的介绍，既不够系统，也不够全面。但是，仅凭这些，就足以说明它在中国古代数学发展史、乃至世界数学发展史上的重要地位。也正因为如此，所以在《九章算术》出现后，历代数学家有不少人曾经对它进行多次注释，并被封建政府规定作为进行数学教育的教科书，名列于“算经十书”之中。此书还流传到朝鲜和日本，对朝鲜和日本古代数学的发展也起了积极的推动作用。现在，此书已被译成俄、德、日等多种文字出版，受到了各国学者的重视。