（初中数学华师版七年级下册）

执教者：沙坪坝区回龙坝镇初级中学校 刘智慧

一、情境导入

（教师用多媒体展示图片）师：同学们请欣赏奥运会的游泳馆水立方，在它的外墙上，出现了我们熟悉的由三条线段组成的三角形，还出现了由多条线段组成的其他平面图形，我们把这种图形称为多边形。那么，什么是多边形？

二、课堂学习

请同学们打开课本，阅读教材第83页至84页第二自然段，勾画出多边形及有关概念的关键词，并观察水立方的外墙上出现了哪些多边形。（学生自学教材，结合图形理解多边形的概念）

生：水立方的外墙上出现了三角形、四边形、五边形、六边形……

师：多边形在我们生活中被应用得如此丰富，那么今天我们就来研究多边形，先来研究多边形的内角和。（板书课题：§9.2多边形的内角和）

师：在前面的学习中，你已经知道哪些多边形的内角和？（导学精要问题1）

生：我知道三角形的内角和为180°。

生2：我知道长方形的内角和为360°。

生3：我知道正方形的内角和为360°。

生4：我知道平行四边形的内角和为360°。

生5：我知道梯形的内角和为360°。

师：以上特殊四边形的内角和都是360°，那任意四边形的内角和等于多少度？请独立思考，利用导学精要问题2中的图形来计算说明。（导学精要问题2）

师：请同学们小组内交流，说说你得到的任意四边形的内角和为多少度？你是怎么得到的？（学生小组内交流，教师深入小组，收集学生中不同的解决问题的方法，组织学生交流展示方法，并归纳总结思想方法）

师：现在请小组代表上台为我们作图讲解，说说你们小组得到的任意四边形的内角和是多少度？你们小组是怎样得到的？（小组派代表上黑板作图讲解有以下方法）

上图对应答案依次为：

180°×2=360° 180°×4-360°=360°

180°×4-360°=360° 180°+360°-180°=360°

生1：我们小组计算得出任意四边形的内角和为360°。我们连接四边形的对角线AC，把这个四边形分成了两个三角形，我们知道一个三角形的内角和为180°，两个三角形的内角和就等于180°×2=360°，所以这个任意四边形的内角和就为360°。

师：大家赞成吗？请问你连接对角线AC的目的是什么？

生1：我们的目的是把这个四边形分成两个三角形。

师：这两个三角形的内角跟这个四边形的内角有什么关系呢？

生1：这两个三角形的每个内角都属于这个四边形的内角，我们就能根据三角形的内角和求出四边形的内角和。

师：同学们还有不同作法吗？

另一个小组学生上台展示：

生2：我们小组是连接对角线AC、BD交于点O，把这个四边形分成了四个三角形，所以就用180°×4。

师追问：为什么是180°×4呢？

生2：因为我们把它分成了四个三角形，每个三角形的内角和是180°，四个三角形就是180°×4，还要减去360°。

师继续追问：减去的360°是哪几个角？标注出来，为什么要减去这几个角？

生2：这四个角是三角形的内角但它不属于四边形的内角所以要减掉。

师：同学们还有不同作法吗？

生3：我们小组是在四边形内部任意取一点O，然后联结四边形的四个顶点，把这个四边形分成了四个三角形，每个三角形的内角和为180°，四个三角形就是180°×4，但要减去中间的这四个角，因为它们是三角形的内角，但不属于四边形的内角，它们刚好围成一个周角，所以就减去360°，这样我们就求出任意四边形的内角和为360°。

师：你的方法跟方法二有什么异同之处？

生3：第二种方法是连接对角线AC、BD交于点O，我们这种方法是在四边形内任意取一点O。

师：第二种方法其实是三种方法的一种特例。

师：刚才第一组、第二组和第六组的同学们都表现得很好，其他组的同学还有没有不同作法呢？

生4：我们小组是过点D，作DE∥AB交BC于点E，把四边形分成了一个三角形和一个梯形。

师：你们小组是怎么想到把四边形分割成三角形和梯形的？

生4：因为我们以前学过梯形的内角和为360°，刚才的同学都是用求三角形的内角和的方式，我想尝试一下运用梯形的内角和来求出四边形的内角和。

师：你们小组的这种想法真棒！请继续为我们讲解。

生4：一个三角形的内角和为180°，一个梯形的内角和为360°，就有180°+360°，但我们要减去顶点E这里的一个平角180°，所以最后求出四边形的内角和为360°。

师：赞成不？还有其他方法吗？

师：（1）我们作辅助线时，有的是在四边形顶点处取一点，有的在内部取一点，连接各顶点，分成三角形，求四边形的内角和.那么可不可以在四边形的一边上任取一点呢？在四边形外部任取一点呢？

（2）我们可以过点D作AB的平行线，把四边形分割成三角形和梯形来解决问题，又可不可以过点C作平行线呢？作高呢？

（3）前几种方法都是把任意四边形分割成熟悉的图形，我们把它补成一个熟悉的图形又能不能解决问题呢？

（使学生明确：辅助线的做法多种多样，这“一点”可以是平面内任意的一点，“割”或“补”的方法都可以尝试。只要把四边形的内角和转化成已经知道内角和的图形，就能求出其内角和）

（4）像这样把要求的四边形的内角和转化成已经知道内角和的图形来解决，把未知转化为已知，就是数学中非常重要的思想方法——转化。

（板书：转化）

师：对比以上几种方法，你认为哪种更简便？为什么？

生：第一种方法最简便。

生1：它作的辅助线最少。

生2：它分成的三角形个数最少。

生3：它分成的三角形的每个内角都属于四边形的内角，使计算简便。

师：现在你能用从多边形的一个顶点出发，联结与其不相邻的各顶点，分成三角形的方法，去求五边形、六边形、七边形等的内角和吗？请利用导学精要问题3中的图形来计算并填表。（此为导学精要问题3）

（学生先独立探究，教师对有困难的学生给予及时地指导，然后组织学生展示、交流各自的思考方法与结果）

师：现在哪个小组的同学来为我们展示探索结果呢？（展台投影展示讲解）

生：我们通过画图可以看出四边形被分成了两个三角形，五边形被分成了三个三角形，六边形被分成了四个三角形，七边形被分成了五个三角形，每个三角形的内角和为180°，所以我算出了这几个多边形的内角和，我还发现多边形被分成的三角形个数比它的边数少2，所以n边形将被分成（n-2）个三角形，内角和可以表示为（n-2）×180°。

师：大家赞成吗？还有什么疑问？

师：（1）这就是n边形的内角和计算公式。

板书：n边形的内角和等于（n-2）×180°。

在这里n表示什么？所以我们只要知道了多边形的边数，就能求到它的内角和；反之，只要知道了多边形的内角和，运用这个公式建立一个方程，我们就能求出这个多边形的边数。

（2）我们求五边形、六边形、七边形的内角和都是类比四边形的方法来解决的，这也是数学中常用到的研究方法——类比（板书：类比）。

（3）我们探究多边形的内角和时，是先从特殊的三角形、四边形、五边形等出发，从而得出n边形的内角和。这是我们探索数学问题经常常用的“从特殊到一般”的思想方法（板书：从特殊到一般）。

师：请大家阅读教材第85页至86页内容，勾画出多边形的内角和计算公式，作好笔记，并加以理解和记忆。

师：刚才大家从特殊的多边形再到一般的n边形，类比四边形将未知问题转化为已知问题探究得出了多边形的内角和计算公式，你能运用公式解决相关问题吗？请完成导学精要中学习反馈的内容。

（学生独立思考、计算，然后交流各自的解题过程）

师：请你来说说第1小题的做法。

生1：十二边形的内角和为1800°，正十二边形的每个内角的度数为125°。

师：大家赞成吗？

生：不赞成。

师：说说你是怎么求正十二边形的每个内角度数的？

生1：用十二边形的内角和为1800°除以它的边数十二。

师：为什么要除以12？

生1：因为正十二边形有12个内角，而且每个内角度数相等，所以就用内角和1800°除以12。

师：方法是正确的，肯定是计算出了问题，我们来看看他的计算过程。

（展台投影计算过程，学生自己找出计算失误的地方，强调计算要仔细）

师：谁愿意来展示第2题？

生：我们求到了四边形的内角和为360°，所以有150+80+2x=360，计算得出x=65，四边形的内角和为360°，所以有150+80+2x=360，计算得出x=65。

五边形的内角和为540°，所以有160+90+110+3x=540，计算得出x=60。

师：第3题呢？

生：我运用多边形的内角和公式，建立了方程（n-2）×180=1440，从而求到n=10。

师：同学们赞成吗？做对的举手。

师：回忆本节课的学习内容，谈谈你有哪些收获、体会或疑问？

生1：我知道了n边形的内角和等于（n-2）×180°。

生2：我学到了转化的思想方法。

生3：我还学会了类比的思想方法。

生4：我学会了用多种方案来解决问题。

生5：小组在一起学习可以收获到更多的解题方法，使我体会到了小组在一起学习是一件很愉快的事情。

三、课堂小结

生：自我小结。

师：今天我们从水立方的外墙上发现了多边形，然后又运用“转化”、“类比”的思想方法求到了四边形、五边形、六边形等的内角和，再“从特殊到一般”归纳得出了n边形的内角和计算公式，收获很大。但最令老师感动的是，大家解决问题的时候积极思考，小组合作时的凝心聚力、互帮互助、取长补短！今天我们探索了“多边形的内角和”，那“多边形的外角和”又有什么奥秘呢？期待下节课大家更为精彩的发现！

【教学点评】

本节课教师遵循“先学后教，互助展评”的原则，努力体现以学生的学习为本、以学生的发展为本的学本教学理念，师生关系民主和谐，学生主体作用发挥充分，小组之间、生生之间、师生之间形成良好的思维互动，课堂焕发出生命的活力。具体表现在以下三个方面：

一、巧设问题，激活学生思维

本节课学生的思维得到最大程度的激活，学生在自学、互学、展学过程中始终处于愤悱状态。这一学习效果得益于学习主问题的精准设计，全课学习中学生主要循序渐进地解决了这样三个问题：在前面的学习中，你已经知道哪些多边形的内角和？任意四边形的内角和等于多少度？你能求出五边形、六边形、七边形等的内角和吗？这三个问题中，问题1和问题3是解决主问题的辅助性问题和延伸性问题，问题2是主问题。这三个问题以学习探究多边形的内角和为主线环环相扣，问题1——在前面的学习中，你已经知道哪些多边形的内角和？由学生已有的知识确定学生本节课学习的起点，在学生思维的最近发展区引出问题。2——任意四边形的内角和等于多少度？是本节课的核心问题，教师组织学生有效自学、互学、展学，充分暴露学生的思维过程，由此突出重点突破难点。在问题2解决的基础上，适时类比四边形的解决方法，引出问题。3——从特殊入手得出一般多边形的内角和计算公式。全课以一个主问题统领两个辅助问题，贯穿全课的自学、互学与展学全过程，为学生搭建起层层递进的学习阶梯，激发学生无穷的思维之源，使课堂充满浓厚的生长气息。

二、重视展学，彰显课堂精彩

学本教学的精彩来自于学生个体、学习小组学习的精彩，来自于学生思维过程的精彩，来自于课堂生命成长的精彩。这些学生个体、学习共同体的精彩要以一定的形式呈现，成为课堂学习的资源，展学是课堂精彩分享不可或缺的形式和过程。本节课的教学学生精彩的展学过程充分展现出了数学课堂生长之美，例如，当学生在解决主问题2“任意四边形的内角和等于多少度？”时，学生经历了充分的独立思考、小组交流后的展学过程中，学生结合图形有理有据地讲解了四种不同的思维方法：

得出了四种计算四边形内角和的四个算式：180°×2=360°，180°×4-360°=360°，180°×4-360°=360°，180°+360°-180°=360°学生在这些方法的启发下，进而还产生了“在四边形的一边上任取一点、在四边形外部任取一点”作辅助线，将四边形分割成不同三角形来计算四边形内角和的方法。这个学习过程不仅仅是学生个体，或学习小组学习成果的再现，更重要的是营造了良好的课堂思维场，使大家在展现自己的思维过程的同时，积极吸纳别人的思维方法，改造自己的思维，进而产生新的解决问题的思维方法，给我们呈现出了一个实实在在看得见的生长课堂，能在课堂上身临其境的亲耳聆听到学生思维成长拔节之声。

三、适时领学，提升思维品质

导学是提升学本教学课堂学习深度的保障。上述教学过程，教师有效的导学促进了学生高效的深度自学、互学、展学。例如，在学生展学过程中，教师通过不停追问，促使学生对自己的方法进行梳理、归纳和提炼，既找出自己计算四边形内角和的方法特点，又和别的方法相对比找出区别和联系。当第一种方法展示后，教师及时追问“你连接对角线AC的目的是什么呢？”的问题，想挖掘出学生的思维根源，学生回答“把四边形分成了两个三角形”，接着继续追问“两个三角形的内角与四边形的内角有什么关系呢”？学生回答“每个三角形的内角都是四边形的内角，每个三角形的内角和是180°，两个三角形的内角和就等于180°×2=360°”，引导学生将算法背后的思维过程完全暴露出来。又例如在第四个学生展示后，教师再一次提出了一个追问“同学们都把四边形分成三角形或梯形，都是把它分割开的，那我们可不可以通过一种方法把它补成一种我们熟悉的图形呢？”把学生的学习研究视野扩展。由于有展学过程中关键性的追问，学生的思维随时处于被整理有序的状态，所以最后得出概括性的学习结论：“只要把这个四边形分割或补成我们熟悉的图形，就能解决四边形的内角和，我们可以作辅助线，转化为已知内角和的图形来解决，这就是利用了数学中的转化的思想方法。”有效让学生超越具体计算方法，上升到数学思想方法的高度去认识和理解各种不同的方法，凸显数学课堂的学科本质，有效地增加了课堂学习的深度和厚度。教师通过有效的导学，引导学生思考分析问题解决问题的思路与方法，不仅让学生学会陈述性知识，更让学生学会程序性知识，不仅知道是什么，还知道怎么做，尤其是怎么想。

引导学生从多角度思考问题，寻求解决问题的多种途径，并优化解决问题的方法和策略，拓展了学生思维的深度和广度。

总之，本节课面向全体学生，面向学生的各个方面，重难点知识落实到位，学生当堂检测通过率高，有效达成知识与技能目标，恰当地渗透了数学的基本思想方法，积累了基本的数学活动经验，使不同程度的学生在过程与方法以及情感、态度、价值观等方面都获得发展。