引言

图7 数轴上在0附近的中央部分

不过，人们在19世纪最伟大的成就之一是充分意识到数域其实不是一维的，而是二维的。复数构成的平面才是大部分数学论辩的天然场地。这个结论是数学家和科学家通过解决问题才意识到的——为了能够开展研究，解决现实中的问题，有必要扩展数的边界，尽管很多问题似乎只跟普通的自然数有关。关于这个额外的维度是怎样出现的，我们将在本章的末尾做出解释，并在第8章中进一步探讨这个话题。

加和减

整数指代所有“整的”数组成的集合，包括正的、负的以及0。这个集合通常用字母Z来表示，它向两边无穷延伸：

{…，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，…}

我们常把整数看作水平数轴上等距的点，它们按以上的次序排列。为了能用整数运算，下面总结了我们需要知道的额外的规则：

（a）加上或减去一个负整数-m：加的时候我们向左移动m个位置，减的时候我们向右移动m个位置。

（b）乘以负整数-m：我们将原整数乘以m，接着再改变符号。

换句话说，加上或者减去负数的方向和正数情况下的相反，而将一个数乘以-1则会使得它的符号反转。比如：8＋(-11)=-3，3×(-8)=-24，(-1)×(-1)=1。

你无须为最后那个式子困扰。首先，一个负数乘以一个正数得到负数，这是合理的。因为当债务（负的量）产生了利息（一个大于1的正乘数），结果会是更重的债务，也就是说一个值更大的负数。这一点我们都很清楚。一个负数乘以一个负数，应该给出相反的结果，即一个正数，这样才与前面的一致。我们甚至可以给负负得正这个事实一个严格的证明。它基于这样的假设：我们希望扩展的整数系统包含了原来的自然数，并且继续遵守所有代数运算的普通规则。事实上，两个负数的积可以从任何数乘以0等于0推出。（这个结论也不是一个假设，而是代数法则的必然结果。）我们现在有：

-1×(-1＋1)=-1×0=0。

将括号拆开，我们看到要想左边等于0，(-1)×(-1) 必须与(-1)×1反号，换句话说(-1)×(-1)=1。

分数和有理数

因此，我们找到了原分数的埃及分解：

将这个等式应用于m=9，p=4，q=5，我们立即得到

这样的技巧常常被用于简化包含无穷重复过程的表达式。比如，考虑下面这个令人生畏的式子：

通过求平方，接着再一次平方，左侧变成a4，而右侧的表达式变成：

由于5后面跟着的正是a的表达式，我们推知a4=20a，于是a3=20，或者a是20的立方根——如果你更喜欢这样说。在第7章中我们会再次用到这个技巧，那里我们将介绍所谓的连分数（continued fraction）。

分数这一类别是否提供了我们可能需要的所有数了呢？正如之前提到的，所有分数以及它们的负数的总合，形成了被称为有理数的集合，也就是由整的数和它们之间的比值所产生的所有的数。它们对于算术来说是足够的，这意味着，涉及加、减、乘、除四种基本运算的任何结果都不会将你带出有理数的范围。如果我们对此感到满意，那么这个数集就是我们所需的。不过，在下面的小节，我们来解释为什么像上面的a那样的数不是有理的。

无理数

使用类似的推理，我们能够证明，一般取一个数的平方根（或是立方根甚至是更高次方根）的时候，答案如果不是一个整数，就总是一个无理数。这就解释了当你计算方根的时候，为什么你的计算器上显示的小数从来都没有循环的迹象。

这个问题在古典时代（classical times）一直无人问津。直到1837年法国数学家皮埃尔·汪策尔（Pierre Wantzel）才将其“盖棺定论”：2的立方根在欧几里得工具所能到达的范围之外。这么晚是因为我们需要一种精确的代数来描述古典工具能达到的极限，这样才能看出2的立方根从根本上讲是一种不同类型的数。实际上，最后这可以归结为证明用平方根和有理数永远不可能造出立方根。这样说的话，这个不可能性听起来似乎更合理一些了。当然，这还不能构成一条证明。

超越数

无理数中还存在着神秘的超越数（transcendental number）家族。这些数不能由普通的算术运算或是求方根得出。在给出精确的定义之前，我们先介绍与之互补的集合——代数数（algebraic number），其中每个数都是一个拥有整数系数的多项式方程的解。例如，x5-3x＋1=0就是这样的一个方程。超越数被定义为非代数数。

到底有没有这种数呢？答案并不明朗。不过，它们确实是存在的，只是它们的社群十分隐秘，其中每个成员都对自己的会员身份讳莫如深。比如π这个数就是超越数的一例，但这不是一目了然的事情。在下一章中，我们将要探索无限集合的性质，那时候我们会解释为什么“大部分”数都是超越的，我们会严密地阐释这个“大部分”的含义。

另一种产生神秘的e的方法是将阶乘的倒数相加。这也是一种以很高精度计算e的途径，因为这个级数（series[2]）的各项迅速趋近于0，于是级数本身会很快收敛：

实的和虚的

本书的前五章主要都在和正整数打交道。我们强调了整数的因数分解性质，这引导我们去考虑不具有真正分解的数——也就是素数，这个集合在现代密码学中占据了举足轻重的位置。我们还了解了一些具体类型的数，比如和完美数有紧密联系的梅森素数。我们耐心地介绍了一些特殊的整数，对某些自然出现的集合计数的时候，它们扮演重要的角色。在所有这些数当中，大背景都是整数系统，即自然数、它们的负值以及0。

在这一章我们走出了整数的范围，首先是进入有理数的地界（分数，包括正的和负的），接着又走进了无理数。在无理数这个类别中，我们认识了超越数。所有这一切背后的基础是实数系统，实数可以看作所有可能的小数展开式的集合。任何正实数都可以用r=n.a1a2…的形式来表示，这里n是一个非负整数，小数点后面跟着一串无穷多的数字组成的尾巴。如果这条尾巴最终进入一个循环，那么r其实是有理数，而我们已经介绍过怎样将这个表达式转换成一个普通的分数。如果没有进入循环，那么r是无理的。因此，实数包含了这两种不同的类型——有理数和无理数。

在我们的数学想象中，我们常常将实数看作对应于数轴上所有的点，从0向外看去，右边是正数，而左边是负数。这给了我们一个对称的图像，负实数构成正实数的镜像。这一对称性在加法和减法运算中得以保留，但不适用于乘法。一旦我们进入乘法的范畴，正负数便不再拥有同等的地位，因为数1被赋予了其他数都没有的性质，它是乘法单位量（multiplicative identity）。意思是说对于任意实数r，都有1×r=r×1=r。乘以1使得任何数原地不动，但是相反地，乘以-1会将一个数和它在0的另一边的镜像对调。一旦乘法进入我们的视野，正数和负数在性质上的本质不同便显现了出来。特别是，负数在实数系统中不具有平方根，因为任何实数的平方总是大于或等于0。

这一情形恰恰呼唤着我们的虚数（imaginary number）登场。在最后一章中我们会重拾这一话题。现在，让我们只做一些介绍性的点评。

在16世纪，意大利数学家们通过推广二次方程的解法，学会了如何解三次和四次多项式方程，此时这个问题第一次全面浮现出来。后来所说的卡尔达诺法[3]（Cardano method）中，虽然到最后方程的解是正整数，但计算过程常常涉及负数的平方根。从那时起人们逐步发现，使用复数可以让许多数学计算得以开展。复数是形如a＋bi的数，这里a和b都是普通的实数。例如，在18世纪，欧拉发现并应用了eiπ=-1这个小小的出人意料的等式。每一个第一次见到它的人都会禁不住惊讶。

在19世纪早期，韦塞尔[4]（Wessel）和阿尔冈[5]（Argand）研究了复数的几何解释——即坐标平面（标准的xy坐标）上的点，在这之后“虚的”这一术语被普遍接受为数学用语。将复数x＋iy和具有坐标(x，y)的点对应起来，这使得我们能够通过平面上的点的行为来研究复数的行为。事实证明这是极富启发性的。关于所谓的复变量（complex variable）的理论，研究的是依赖于复数——而不仅仅是实数——的函数。经由奥古斯丁·柯西（Augustin Cauchy）的发展，这一理论枝繁叶茂。它现在已经成为数学的一块基石，并且为电信号理论提供了数学基础，而整个X射线衍射领域完全建立在复数的基础上。人们已经证明这些数拥有实实在在的意义。除此之外，这个系统还是完备的，因为每一个多项式在复数系统中都有一组完整的解。我们会在最终章中回到这些话题。不过，在那之前，让我们在下一章中先更近距离地观察一下实数轴的无穷特性。

[1]　或称不可通约的。

[2]　此处的series作为“级数”的意思，是无穷数列各项之和。注意这与之前series的意思不同，那里series指数列。

[3]　吉罗拉莫·卡尔达诺（Girolamo Cardano），意大利学者。卡尔达诺法是求解一般三次方程的方法。

[4] 卡斯帕尔·韦塞尔（Caspar Wessel），挪威、丹麦数学家。

[5]　让-罗贝尔·阿尔冈（Jean-Robert Argand），法国业余数学家。