微分方程作为数学科学的中心学科，已经有三百多年的发展历史，其解法和理论已日臻完善，可以为方程的求解（或数值解和分析）提供足够的方法，使得微分方程模型具有极大的普遍性、有效性和非常丰富的数学内涵.微分方程建模包括常微分方程建模、偏微分方程建模、差分方程建模及其各种类型的方程组建模.微分方程建模对于许多实际问题的解决是一种极有效的数学手段，对于现实世界的变化，人们关注的往往是其变化速度、加速度以及所处位置随时间的发展规律，其规律一般可以用微分方程或方程组表示，微分方程建模适用的领域比较广，利用它可建立纯数学（特别是几何）模型，物理学（如动力学、电学、核物理学等）模型，航空航天（火箭、宇宙飞船技术）模型，考古（鉴定文物年代）模型，交通（如电路信号，特别是红绿灯亮的时间）模型，生态（人口、种群数量）模型，环境（污染）模型，资源利用（人力资源、水资源、矿藏资源、运输调度、工业生产管理）模型，生物（遗传问题、神经网络问题、动植物循环系统）模型，医学（流行病、传染病问题）模型，经济（商业销售、财富分布、资本主义经济周期性危机）模型，战争（正规战、游击战）模型等.其中的连续模型适用于常微分方程和偏微分方程及其方程组建模，离散模型适用于差分方程及其方程组建模.

在自然科学以及工程、经济、医学、体育、生物、社会等学科中的许多系统，有时很难找到该系统有关变量之间的直接关系—函数表达式，但却容易找到这些变量和它们的微小增量或变化率之间的关系式，这时往往采用微分关系式来描述该系统,即建立微分方程模型.

3.1.1微分方程解法简介

我们要掌握常微分方程的一些基础知识以及一些可以求解的微分方程(组)解法，并了解一些方程的近似解法.

微分方程常常用常数变易法与初等积分法求解.

1.　常数变易法：它是由线性齐次方程（一阶或高阶）或方程组的解经常数变易后求相应的非齐次方程或方程组的解的一种方法.

2.　初等积分法：需掌握变量可分离方程、齐次方程的解法，掌握线性方程的解法，掌握全微分方程（含积分因子）的解法，会一些一阶隐式微分方程的解法（参数法），会几类可以降阶的高阶方程的解法（恰当导数方程）.

分离变量法：（1）　可分离变量方程：

dydx=f(x)g(y);

M(x)N(y)dx+P(x)Q(y)dy=0;

(2)　齐次方程：

dydx=fyx;

dydx=fax+by+cux+vy+w;

常数变易法：(1)　线性方程:y′+p(x)y=f(x),

(2)　伯努里方程:y′+p(x)y=f(x)yn,

积分因子法：化为全微分方程，按全微分方程求解.

对于一阶隐式微分方程F(x,y,y′)=0,有参数法.

参数法：(1)　不含x或y的方程:F(x,y′)=0,F(y,y′)=0;

(2)　可解出x或y的方程：y=f(x,y′),x=f(y,y′);

对于高阶方程，有降阶法.

降阶法：F(x,y(k),y(k+1),…,y(n))=0;

F(y,y′,y″)=0;)

恰当导数方程

一阶方程的应用问题（即建模问题）.

3.1.2数学建模的微分方程几种方法

下面，给出如何建立微分方程数学模型的几种方法.

1.　利用问题本身给出的或隐含的等量关系建立微分方程模型.

这就需要我们仔细分析题目，明确题意，找出其中的等量关系，建立数学模型.

例如在光学中，旋转抛物面能将放在焦点处的光源经镜面反射后成为平行光线，为了证明具有这一性质的曲线只有抛物线，我们就是利用了问题中隐含的条件——入射角等于反射角来建立微分方程模型的.又如在天文学、气象学中常用到的等角轨线，已知曲线或曲线族(c)，求曲线l（等角轨线或正交轨线），使l与(c)中每条曲线相交成给定的角度（这是问题中明确给出的条件，即曲线的切线相交成给定的角度，这样，就在它们的导数之间建立了联系），又问题中隐含的条件是：在l与(c)中曲线相交点处，它们的函数值相等；这样，我们只要求出已知曲线或曲线族的微分方程，根据它们之间的联系，就可以建立等角轨线的微分方程模型，从而求出等角轨线的方程.

2.　从一些已知的基本定律或基本公式出发建立微分方程模型.

我们要熟悉一些常用的基本定律、基本公式.例如从几何观点看，曲线y=y(x)上某点的切线斜率即函数y=y(x)在该点的导数；力学中的牛顿第二运动定律：f=ma,其中加速度a就是位移对时间的二阶导数，也是速度对时间的一阶导数；电学中的基尔霍夫定律等.从这些知识出发我们可以建立相应的微分方程模型.

例如在动力学中，如何保证高空跳伞者的安全问题.对于高空下落的物体，我们可以利用牛顿第二运动定律建立其微分方程模型，设物体质量为m，空气阻力系数为k，在速度不太大的情况下，空气阻力近似与速度的平方成正比；设时刻t时物体的下落速度为v，初始条件：v0=0.由牛顿第二运动定律建立其微分方程模型：

mdvdt=mg－kv2

求解模型可得：

v=mgexp2tkgm－1kexp2tkgm+1

由上式可知，当t→+∞时，物体具有极限速度：

v1=limt→∞v=mgk，

其中，阻力系数k=αρs，α为与物体形状有关的常数，ρ为介质密度，s为物体在地面上的投影面积.根据极限速度求解式子，在m,α,ρ一定时，要求落地速度v1不是很大时，我们可以确定出s来，从而设计出保证跳伞者安全的降落伞的直径大小来.

3.　利用导数的定义建立微分方程模型.

导数是微积分中的一个重要概念，其定义为

f′(x)=limΔx→0f(x+Δx)－f(x)Δx=limΔx→0ΔyΔx，

商式ΔyΔx表示单位自变量的改变量对应的函数改变量，就是函数的瞬时平均变化率，因而其极限值就是函数的变化率.函数在某点的导数，就是函数在该点的变化率.由于一切事物都在不停地发展变化，变化就必然有变化率，也就是变化率是普遍存在的，因而导数也是普遍存在的.这就很容易将导数与实际联系起来，建立描述研究对象变化规律的微分方程模型.

例如在考古学中，为了测定某种文物的绝对年龄，我们可以考察其中的放射性物质（如镭、铀等）的衰变情况.已经证明其衰变速度（单位时间衰变的质量，即其变化率）与其存余量成正比.我们假设时刻t时该放射性物质的存余量R是t的函数，由衰变规律，我们可以建立微分方程模型:

dRdt=－kR

期中k是一正的比例常数，与放射性物质本身有关.求解该模型，我们解得：R=Ce－kt，其中c是由初始条件确定的常数.从这个关系式出发，我们就可以测定某文物的绝对年龄（参考碳定年代法）.

此外，在经济学领域中，导数概念有着广泛的应用，将各种函数的导函数（即函数变化率）称为该函数的边际函数，从而得到经济学中的边际分析理论.

4.　利用微元法建立微分方程模型.

一般的，如果某一实际问题中所求的变量p符合下列条件：p是与一个变量t的变化区间[a,b]有关的量；p对于区间[a,b]具有可加性；部分量Δpi的近似值可表示为f(ξi)Δti.那么就可以考虑利用微元法来建立微分方程模型，其步骤是：首先根据问题的具体情况，选取一个变量例如t为自变量，并确定其变化区间[a,b]；在区间[a,b]中随便选取一个任意小的区间并记作[t,t+dt]，求出相应于这个区间的部分量Δp的近似值.如果Δp能近似的表示为[a,b]上的一个连续函数在t处的值f(t)与dt的乘积，我们就把f(t)dt称为量p的微元且记作dp.这样，我们就可以建立起该问题的微分方程模型：dp=f(t)dt.对于比较简单的模型，两边积分就可以求解该模型.

例如在几何上求曲线的弧长、平面图形的面积、旋转曲面的面积、旋转体体积、空间立体体积；代数方面求近似值[3]以及流体混合问题[4]；物理上求变力做功、压力、平均值、静力矩与重心等,这些问题都可以先建立他们的微分方程模型，然后求解其模型.

在2005年的全国大学生数学建模竞赛A题（原题见竞赛试题）中，对于长江流域的三类主要污染物——溶解氧，高锰酸盐指数与氨氮污染，我们运用微元法，建立了其含参数的微分方程模型，并用平均值法估计出了其参数，具体求出了他们的解，之后，我们又给出了他们统一的微分方程模型及其求解公式.

5.　熟悉一些经典微分方程模型，对一些类似问题，可经过稍加改进或直接套用这些模型.

多年来，在各种领域里，人们已经建立起了一些经典的微分方程模型，熟悉这些模型对我们是大有裨益的.下面，我们仅以人口问题为例说明.

不同年龄的人的繁殖率和死亡率有着明显的不同.考虑按年龄分组的种群增长模型，我们介绍Leslie在20世纪40年代建立的一个具有年龄结构的人口离散模型.

我们将人口按年龄划分成m个年龄组，即1,2,......,m组.此处还隐含假定所有人的年龄不能超过m组的年龄.现将时间也离散为时段tk,k=1,2,3,…,m，并且tk的间隔与年龄区间大小相等.记时段tk第i年龄组的种群数量为xi(k)，记tk时段种群各年龄组的分布向量为

X(k)=x1(k)

x2(k)

??

xm(k)

则我们可以建立人口增长的差分方程模型为

X(k+1)=LX(k),k=0,1,…

此处L为已知矩阵.当t0时段各年龄组的人数已知时，即X(0)已知时，可以求得tk时段的各年龄组的分布向量X(k)为

X(k)=LkX(0),k=1,2,3,…

由此可以算出各时段的种群总量.

当我们要考察的量同时与两个变量有关时，要想描述其变化率的关系，则通常要用偏微分方程模型来描述.下面介绍人口年龄的连续模型.设x表示年龄，t表示时间，N(x,t)表示t时刻年龄小于x的人口总数，记am为人类寿命的上限，N(t)为t时的总人口数，设P(x,t)=??N(x,t)??x为人口密度，μ(x,t)为死亡率函数.另外，我们给出初始条件和边界条件，记最近一次人口普查的时间为t=0，从而P(x,0)=P0(x)为已知，记P(0,t)=φ(t)为t时刻单位时间内出生的人口数，则可得到如下的连续人口发展的偏微分方程模型

??P(x,t)??x+??P(x,t)??t=－μ(x,t)P(x,t)

P(x,0)=P0(x),P(0,t)=φ(t)

由偏微分方程理论，我们可以求出人口密度函数P(x,t).