北方城镇的窗户玻璃是双层的,这样做主要目的是为室内保温。试用数学建模的方法给出双层玻璃能减少热量损失的定量分析结果.

1.　模型准备

本问题与热量的传播形式、温度有关.检索有关的资料得到与热量传播有关的一个结果，它就是热传导物理定律:

厚度为d的均匀介质,两侧温度差为ΔT,则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量Q,与ΔT成正比,与d成反比,即:

Q=kΔT/d

k为热传导系数.

2.　模型假设(根据上面定律做假设)

(1)　室内的热量传播只有传导(不考虑对流,辐射)

(2)　室内温度与室外温度保持不变(即单位时间通过窗户单位面积的热量是常数)

(3)　玻璃厚度一定,玻璃材料均匀(热传导系数是常数)

3.　模型构成

引入图22，其中的符号表示:

d:玻璃厚度

T1:室内温度

T2:室外温度

Ta:靠近内层玻璃温度

T2:靠近外层玻璃的温度

图22室内外温度示意图

L:玻璃之间的距离

k1:玻璃热传导系数

k2:空气热传导系数

对中间有缝隙的双层玻璃，由热量守恒定律有

穿过内层玻璃的热量=穿过中间空气层的热量=穿过外层玻璃的热量

根据热传导物理定律，得

Q=k1T1－Tad=k2Ta－TbL=k1Tb－T2d

消去不方便测量的Ta,Tb,有

Q=k1T1－T2d(s+2),s=hk1k2,h=Ld

对中间无缝隙的双层玻璃,可以视为厚为2d的单层玻璃,根据热传导物理定律，有

Q′=k1T1－T22d

而

QQ′=2s+2??Q