20-1 统计学的主角——“正态分布”

在统计学中，最常用的是被称为“正态分布”的连续型概率分布。在标准统计学（内曼－皮尔逊统计学）中如此，在贝叶斯统计学中亦是如此。

正态分布之所以应用如此广泛的原因，主要有两个：

第一，正态分布有着十分便利的数学操作性，这一点在后面将会涉及。第二，正态分布是一种在自然界和社会中频繁出现的概率分布。本节将对第二点进行简要说明。

最初发现正态分布的实验是这样的：投掷N枚硬币时，把出现正面的x枚硬币的概率记为p（x），当N足够大的时候，p（x）的分布图会呈现出特殊的形状（吊钟型）。亚伯拉罕－棣莫弗和拉普拉斯等数学家发现了该图表中对应的函数，即图表20-1的公式。

此后，数学家高斯在担任天文台主任时，通过分析天体观测时的误差所呈现出来的概率分布，也推导出了同样的分布图。

图表20-1 标准正态分布

在高斯的研究之后，随着概率理论和统计学的进步，人们发现，在很多场合都能够观察到这样的正态分布。例如，通过观察包括人类在内的各种各样的生物种群，可以发现了同一种群的体长遵循正态分布的规律。此外，在体内的构成物（血液等）的分布，也呈正态分布趋势；在收到电波时出现的噪音中，也观察到了正态分布的现象。而最近的股票收益率也呈正态分布，这是个强有力的证明。总之，正态分布出现在我们身边的很多现象中。

20-2 呈现吊钟型的正态分布

正态分布是指，分布图呈现特殊形状的一类分布。为了让大家了解具体的形状，首先，我们来看被称为“标准正态分布”代表性图表——图表20-1。横轴x表示类别的数值，纵轴y表示的是出现的概率密度，该图表具有如下特征：

·以y轴（x＝0）为轴，左右对称。

·图像呈为吊钟型（铃型），最高点在x＝0的位置。

·无论x取何值，y也不会等于0（图表向左右两侧无限延伸）。

·在x≥2的部分，图像急剧下降；同样，在x≤-2的部分，图像也急剧下降。

图表20-2 标准正态分布的概率

图表20-1右上方横向写的，是表示概率密度的函数的公式，公式本身非常复杂，估计大多数读者看了会眼花吧。系数的分母是以圆周率π的平方根的形式出现的，不过，这并不重要（只是为了满足标准化条件），而重要的是：无理数e（纳皮尔常数）的取幂，以及二次函数的指数部分为负的系数。这正是图像呈之前所述的形状和特征的原因所在。但后面的内容中不会再出现这个函数，因此简单了解即可，即使后面忘记了也没关系。

这个一是连续型的概率分布。由于高度y表示的并非概率，而是概率密度，因此，“有宽度的部分的面积才是概率”这一点，与贝塔分布是一样的。例如，在满足-1≤x≤1时观察到x的概率，表示为图表20-2中涂有颜色部分的面积，其概率约为0.6826。

20-3 正态分布由“μ”和“σ”决定

一般的正态分布，可以从标准正态分布中轻而易举地获得，只要把图表按照以下步骤进行变形即可。

步骤1：以y轴为中心，向左右两侧延伸σ倍（σ希腊字母，读作“西格马”）。为了满足标准化条件（面积之和为1），各部分的高度需为σ分之1。

步骤2：横向平行移动，直到对应函数顶点的x坐标为μ（希腊字母，读作“缪”）为止。

现在，针对μ和σ的作用进行说明。

μ是概率分布的平均值。换言之，即为“挑担人偶的平衡支点”。由于其左右对称的，因此位于函数图像的顶点位置。而σ是被称为标准偏差的指标，表示分布中的“分散”“扩大”的程度。

接下来，用形象的方式来说明“分散”“扩大”的概念。由于平均值μ位于概率分布图顶点的位置，因此，最容易观察到数值。因而，如果被问到“你能预言可以观察到什么吗”的时候，回答“我可以预言在‘μ附近’”，是比较稳妥的。但是，若说这个预言的准确度如何，则要依存于“分散”“扩大”的程度。如果是分布的状态为山顶高、山脚低，那么由于μ附近的数值容易被观察到，则预言的准确度相对较高。但如果分布的状态为山顶低、山脚高，那么反而会观察到，远离μ的数值出现的频率高。因此，偏离预言的可能性就会增高，导致准确度降低。

也就是说，我们可以想象为，标准偏差σ表示的是“从观察值的平均值中，误差/偏差的程度”的指标。本书后面不对标准偏差进行更深入的探讨，如果想了解更多内容，可以参考相关书目《完全自学 统计学入门》（详见参考文献⑨）。

那么，只要确定μ和σ，就能决定一个一般的正态分布。尤其是标准正态分布，它对应μ＝0、σ＝1。

用σ＝2、μ＝3来举例说明上述内容，则如图表20-3所示。

图表20-3 一般的正态分布

上方部分为标准正态分布的分布图，顶点在x＝0的位置，扩大宽度为1。下方左侧的图像为，将该标准正态分布向左右两侧扩大2倍之后得到的图像。此时，函数图像的倾斜度稍微平缓了一些。为了保证总面积为1，其对应的x位置的高度同样需要变为1/2。通过这个操作，可以得出标准偏差σ＝2的正态分布（平均值μ保持为0不变）。下方右侧的图为，将该图像向右平行移动＋3后得到的图像。那么顶点自然变为了x＝3所对应的位置。通过这个操作，可以得出平均值μ＝3的正态分布。按照这样的方式，可以得到μ＝3、σ＝2的正态分布的概率分布图。

综上，可以得出以下结论：

一般正态分布的性质

?只要赋予平均值μ和标准偏差σ，就能确定一个正态分布。

?μ的含义为分布的平均值。表示为图表的顶点位置，因此也是挑担人偶的平衡支点。

?σ表示分布的标准偏差。即表示图表左右扩大多少，其含义是分布的“扩大”“分布”。

?标准正态分布是指μ＝0、σ＝1的情况。平均值μ、标准偏差σ的正态分布的分布图，是在不改变标准正态分布的分布图面积的情况下，左右延长σ倍，y方向延长1/σ倍，并且只在x方向上平行移动μ。

20-4 将一般正态分布概率转换为标准正态分布形式

若已知标准正态分布的概率，就能很容易地计算出一般正态分布的概率。

下面我们来进行实际操作：例如，在μ＝3、σ＝2的正态分布中，计算在1≤x≤5的范围中观察到x的概率。

正如刚才的解说，标准正态分布（μ＝0、σ＝1的正态分布）的图像，是左右扩大2倍，同时横向平行移动＋3后得到的。因此，如果把它调转过来，即横向平行移动-3，同时左右缩小1/2，就能恢复到标准正态分布的状态。

也就是说，把变量x变形为z＝（x-3）/2，变量z就会成为遵循标准正态分布的变量。于是可以得到：

1≤x≤5

→1-3≤x-3≤5-3

→-2≤x-3≤2

→-2/2≤（x-3）/2≤2/2

从这个变形中，又可以得到：

用概率的符号进行表示，则为：

因此，在μ＝3、σ＝2的正态分布中，计算在1≤x≤5的范围中观察到x的概率，与在标准正态分布中观察满足-1≤z≤1的z的概率是相同的。换言之，这个概率，与20-2中所出的结果是一样的，即约为0.6826。

p（1≤x≤5）≈0.6826

20-5 正态分布的多个观测值的平均值为正态分布

正态分布具有以下神奇的性质：

正态分布观测结果的平均值具有何种性质

根据平均值μ、标准偏差σ的正态分布观测到n个数值，取平均值记为x，即

对于“即使将正态分布进行平均化，结果也依然是正态分布”这样神奇的性质，大家一定会感到惊讶吧。这就是20-1中提到的“便利的数学操作性”。此外，其神奇之处在于，平均值与之前相同，而标准偏差是除以观察次数的平方根而得出的数值。下面，我们通过以下练习实际感受一下。

问题

把日本的成年女性的身高作为正态分布，其平均值为160cm，标准偏差约为5cm。现在，随机从日本的成年女性中抽取25人，多次计算她们身高的平均值。此时的结果，x遵循怎样的概率分布呢？

答案

平均值≈160cm

第20讲·小结

1．正态分布这种概率分布，在自然和社会中经常能观察到。

2．只要确定了平均值μ和标准偏差σ，就能确定一个正态分布。

3．平均值μ表示图像的顶点位置，标准偏差σ表示图像的扩大程度。

4．标准正态分布是所有正态分布的基础，即μ＝0、σ＝1。

练习题

答案参见此处

（1）假设z为根据标准正态分布而被观测到的数值。此时，z在-1≤z≤1的范围中的概率p（-1≤z≤1）为0.6826，计算当z在0≤z≤1的范围内时，

p（0≤z≤1）＝p（-1≤z≤1）÷（）＝（）

（2）假设x为根据μ＝5、σ＝3的正态分布而被观测到的数值。此时，计算x在5≤x≤8的范围内时，概率p（5≤x≤8），则：

根据上述结果，并使用（1）中的答案，可以求出（）