第1部仅停留在描述贝叶斯统计学本质的阶段。但由于没有使用概率符号，因而语言表述不够精确。而如果想要真正地深入掌握使用“贝塔分布”等概率分布的复杂推算，必须要通过算式来理解。在前面，我们已经通过“面积图”的方法积累了扎实的基础，所以，再复杂的概率符号，也能够轻松理解。即使从未听说过“正态分布”也不必担心，我会为大家进行清楚细致的讲解。那么，下面就让我们开始学习吧！

第14讲 “概率”与“面积”的性质相同概率论的基础

14-1 复杂的贝叶斯推理需要用到概率符号

之前的讲义中对于贝叶斯推理进行的讲解，刻意没有使用概率符号。这是因为，从第1讲到第13讲的内容，即使不使用概率符号，也可以针对贝叶斯推理展开讲解，且效果并不会逊色于使用概率符号的讲解方式。实际上确实如此，所有的问题都可以通过使用面积图来解决。而如果使用概率符号来讲解的话，我担心读者朋友们需要在理解贝叶斯推理过程的同时，还要思考概率符号的含义。这样会带来双重负担，导致本来能够理解的知识，也变得无法理解。因此我最终使用了面积图的方法，而这两种方法在本质上其实是相同的。

然而，当我们需要进行更加复杂的贝叶斯推理时，就不得不使用概率符号了，否则，将会遇到一些麻烦。尤其是在采用“连续型先验分布”（第16讲中将详细讲解）的情况下，如果不使用概率符号，是根本无法进行下去的。因此，从第14讲开始，直到第18讲，我将针对概率符号和连续型概率分布进行讲解；从第19讲到第21讲，则步入贝叶斯推理的精髓——贝塔分布和正态分布。

14-2 通过函数的形式来记述概率

概率是指，用一个“大于0且小于1的数值”来对应“发生的事情”的数学概念。

“发生的事情”→“数值”（“数值”的取值范围：必须大于0且小于1）。

先确定“发生的事情”，然后决定与之对应的数值分配，这被称为“概率模型”。

例如，“晴天、阴天、雨天、雪天”为4件事情，分别为这4件事情分配一个0到1之间的数值，结果便会得到一个关于“明天的天气”的概率模型。但要注意的是：所分配的4个数值的相加之和必须为1（标准化条件）。以下为该概率模型的一个例子：

晴天→0.3、阴天→0.4、雨天→0.2、雪→0.1

在这里，我们将4个基础事件——晴天、阴天、雨天、雪天称为“基本事件”。所谓“基本事件”，也就是指为了记述需要计算的概率现象的、且不能再往下分解的最基本事件。

把几个基本事件组合起来，便成为一件“发生的事情”。例如“撑伞”这件事情，是在“雨天”和“雪天”这些基本事件发生的时候，才能得以实现。因此，可以使用以下集合来进行记述：

“撑伞”＝{雨天，雪天}

该集合{雨天、雪天}，又可以称为“事件”。而用集合的方式来记录基本事件，则表示为{晴天}、{阴天}、{雨天}、{雪天}，那么也可以这样理解：基本事件是现象的一种。

下面，在该概率模型中，使用符号p（A）表示事件A发生的概率。

p是probability（概率）的首字母。根据前文所述，p（A）的取值范围，一定在0到1之间。在刚才的例子中，基本事件可以表示为：

p（{晴天}）→0.3、p（{阴天}）→0.4、p（{雨天}）→0.2、p（{雪天}）→0.1

在这里，p（{晴天}）→0.3的含义是：明天的天气为“晴天”的概率是0.3。

而非基本事件的概率的定义则是：构成该事件的基本事件的概率之和。比如，方才的事件“撑伞”的概率为：

p（“撑伞”）＝p（{雨天，雪天}）＝p（{雨天}）＋p（{雪天}）＝0.2＋0.1＝0.3

这可以表述为：发生撑伞这一事件的概率为0.3。大家可以观察这个例子，注意一下：相比文字，使用概率符号进行记述要简单得多。总结一下上述的符号方法，用“事件”来表示“发生的事情”，可以得到如下图表：

概率p：“事件”→“数值”，“数值”＝p（事件）

我们再来思考另一个代表性概率模型的例子：“掷骰子出现的点数”的概率模型。该案例中的基本事件为：

{1点，2点，3点，4点，5点，6点}

为了方便起见，“点”字可以省略掉，只写出数字，为：

{1，2，3，4，5，6}

也就是说，可以将基本事件设为数字的集合。那么，事件也将变为数字的集合，例如：

“偶数”＝{2，4，6}

“4以下”＝{1，2，3，4}

因此，在分配概率时，可以先自然地对基本事件的概率进行以下设定：

因此，对于事件，则可以确定为类似如下的形式：

在这里，将“偶数”这一事件记作E，将“4以下”这一事件记作F，则可以记为：

14-3 概率与面积的性质相同

通过上一节中关于“基本事件”“事件”“概率”的定义，我们可以了解到：概率具有与面积相同的性质。

关于掷骰子的概率模型，我们可以通过图表14-1来实际进行一下图解。这与之前的讲解中多次出现的长方形分割图（可能性示意图）是完全相同的。并且，用来表示事件F＝“4以下”的概率的p（F），与表示长方形1到4部分面积的数值是一致的，这一点显而易见。

图表14-1 概率模型即为面积图

如果将概率理解为面积，那么自然就能理解以下所述的性质。下面的“A or B”事件表示：“A或B其中之一将会发生”的事件。

概率的加法法则

设定事件A和事件B没有重复，即这两个事件当中，不存在共通的基本事件。

此时，事件“A or B”的概率为：A的概率与B的概率之和，即：

p（A or B）＝p（A）＋p（B）

根据概率与面积相同的原理，通过观察图表14-2，很容易就可以理解该法则。

图表14-2 概率的加法法则

14-4 用概率符号来表示贝叶斯推理的先验概率

之前的那些贝叶斯推理的先验概率，可以使用以上事件和概率的符号重新表示出来。

例如，在第2讲的例子中，有“癌症”和“健康”两个类别。那么在概率模型中，基本事件的集合可以表示为：

{癌症，健康}

用分配给每一类别的先验概率来反映实际的罹患率，为：

p（癌症）＝0.001，p（健康）＝0.999

而这在图表14-3（与图表2-1相同）中，分别对应面积为0.001的长方形和面积为0.999的长方形（由面积为1的长方形分割得来）。

图表14-3 根据癌症罹患率得到的先验分布

另外，关于第4讲中介绍的“某对夫妇生的第一胎为女孩的概率为多少”的概率模型，可以将生女孩的概率p的数值设定为基本事件。在这里，将基本事件称为“概率”可能会让人感觉有些奇怪，事实上这并不突兀。可以将基本事件设定为{0.4}、{0.5}、{0.6}。在这里，{0.4}的含义是“该夫妇生的第一胎为女孩的概率为0.4”这一事件，可以理解为类似于掷骰子出现的点数。用概率符号来表示图表14-4（与图表4-1相同）中长方形的面积的话，先验分布可以记为：

图表14-4 某对夫妇生的第一胎为女孩的概率的先验分布

写作p（{0.4}）的情况下，由于中间的0.4也表示概率，整体的p（{0.4}）也表示概率，所以可能有些难以理解。但因为中间的概率“0.4”是针对“某对夫妇生的第一胎为女孩”这一基本事件（事件）的，而整体的p（{0.4}）则用来表示：估计这一基本事件有多大的可能性，也就是所谓的“信念的程度”，因此，可以理解为意思完全不同的两个概念。

14-5 用概率符号来表示用“＆”连接起来的事件

下面讲解的是贝叶斯推理的基础——用“＆”连接起来的事件的概率。正如第10讲中讲解的、将两个概率现象用“＆”组合起来形成的事件，这被称为直积试验。最易于理解的是将抛硬币和掷骰子这两个试验组合为一的例子，如图表14-5所示。

图表14-5 抛硬币和掷骰子的直积试验

下面我们再讲解一次，为了进行将抛硬币的试验与掷骰子的试验组合形成的直积试验，需要像图表14-5那样，纵向列出抛硬币的结果，横向列出掷骰子的结果，形成格子的形式（矩阵）。之后，在矩阵中用（抛硬币的结果）＆（掷骰子的结果）的形式，将两个试验的结果组合在一起。这些就是直积试验概率模型中的基本事件，在这个例子中共有12个：

正面＆1 正面＆2 正面＆3 正面＆4 正面＆5 正面＆6

反面＆1 反面＆2 反面＆3 反面＆4 反面＆5 反面＆6

此时，之前的抛硬币事件和掷骰子事件，就可以通过使用上述的

基本事件来表示。例如，抛硬币的结果为“正面”的事件就可以表示为：

“正面”＝{正面＆1，正面＆2，正面＆3，正面＆4，正面＆5，正面＆6}

而这意味着，掷骰子的结果是多少都无所谓，只要抛硬币的结果是“正面”就行。同理，掷骰子出现“2”的事件可以表示为：

“2”＝{正面＆2，反面＆2}

另外，如果事件“正面”和事件“2”同时发生，此时出现的应为“正面”和“2”中共同包含的基本事件。即（正面＆2）。所以（“正面”和“2”同时发生）的理论性结合，即{正面＆2}，这样，保持了其整合性。

图表14-6 直积空间中原本的试验事件

这里的直积试验得到的概率与之前讲解的一样，对应矩阵的面积而进行定义。正如第10讲中的讲解：由于抛硬币和掷骰子被定义为独立试验（无关系的试验），因此，所有12个基本事件，

p（抛硬币的结果＆掷骰子的结果）

＝p（抛硬币的结果）×p（掷骰子的结果）

为了使之成立，导入了基本事件的概率。也就是说，可以根据右边的乘法对左边的概率进行定义，例如：

也就是说，12个基本事件中的任何一个，其概率都分配为1/12。

像这样导入的直积试验的概率模型，与原来的模型并不矛盾。使用14-3中讲解的“概率的加法法则”，则为：

p（“正面”）＝p（{正面＆1，正面＆2，正面＆3，正面＆4，正面＆5，正面＆6}）

＝p（{正面＆1}）＋p（{正面＆2}）＋p（{正面＆3}）＋p（{正面＆4}）＋p（{正面＆5}）＋p（{正面＆6}）

恰好与（仅仅）抛硬币的概率保持了整合性。

第14讲·小结

1．概率模型由基本事件、事件、概率构成。

2．基本事件是指，不能再进行分解的基本性事件。

3．事件是若干个基本事件的集合。

4．将基本事件e的概率表记为p（{e}）。

5．例如，由基本事件e，f，g构成的事件{e，f，g}的概率被定义为： p（{e，f，g}）＝p（{e}）＋p（{f}）＋p（{g}）

6．“概率的加法法则”是指，在A和B中没有重复的事件时，以下式子成立： p（A or B）＝p（A）＋p（B）

7．将两个概率现象组合形成的直积试验，由a＆b这样的基本事件构成。因此，概率通常被定义为能够使乘法法则成立（假定为独立试验），所以通过乘法来进行计算。 p（{a＆b}）＝p（{a}）×p（）

练习题

答案参见此处

我们尝试着思考一下，当事件存在重复情况下的“概率的加法法则”。将A和B的重叠部分设为C，如下图所示：

分析上图，并依据“概率与面积相同”的原理，进行填空。

p（A or B）＝p（）＋p（）-p（）