数学上的一切法则，都有一个应当留意到的特性，就是无论什么法则，在它成立的时候，使用的范围虽然有一定的限制，但我们也可尝试一下，将它扩充出去，用到一切的数或一切的已知函数。我们可将它和别的法则联合起来，使它能够产生更大的效果。

呵！这又是一段“且夫天下之人”一流的空话了，还是举例吧。

在算术里面，学了加法，就学减法，但是它真小气得很，只允许你从一个数当中减去一个较小的数，因此有时就免不了要碰壁。比如从一斤中减去八两，你立刻就回答得出来，还剩半斤。但是要从半斤中减去十六两，你还有什么法子？碰了壁就完了吗？人总是不服气的，越是触霉头，越想往那中间钻。除非你是懒得动弹的大少爷，或是没有力气的大小姐，碰了壁就此罢手！那么，在这碰壁的当儿，额角是碰痛了，痛定思痛，总得找条出路。从半斤中减去十六两怎么减呢？我们发狠一想，便有两条路：一条无妨说它是“大马路”，因为人人会走，特别是大少爷和大小姐喜欢去散步。这是什么？其实只是一条不是路的路，我们干干脆脆地回答三个字“不可能”。你已说不可能了，谁还会再为难你呢，这不是就是不了了之了吗？然而，仔细一想，朋友，不客气说，咱们这些享有四千多年文化的黄帝的子孙，现在弄得焦头烂额，衣食都不能自给，就是上了这不了了之的当。“不可能！不可能！”老是这样叫着，要自己动手，推脱是不行的。连别人明明已经做出的，初听见乍看着，因为怕动脑，也还说不可能。见了火车，有人和你说，已经有人发明了可以在空中飞的东西，你心里会想到“这不可能”；见了一根一根搭在空中的电线，别人和你说，现在已有不要线的电报、电话了，你心里也会想到“这不可能”……朋友！什么是可能的呢？请你回答我！你不愿意答应吗？我替你回答： “老祖宗传下来的，别人做现成的，都可能。此外，那就要看别人，和别人的少爷、小姐，好少爷、好小姐们了！”呵！多么大气量！

对不起，笔一溜，说了不少废话，而且也许还很失敬，不过我还得声明一句，目的只有一个，希望我们不要无论想到什么地方都只往“大马路”上靠，我们的路是第二条。

我们从半斤中减去十六两碰了壁，我们硬不服，创造出一个负数的户头来记这笔苦账，这就是说，将减法的定义扩充到正负两种数。不是吗？你欠别人十六两高粱酒，他来向你讨，偏偏不凑巧你只有半斤，你要还清他，不是差八两吗？“差”的就是负数了！

法则的扩充，还有一条路。因为我们将一个法则的限制打破，只是让它能够活动的范围扩大起来。但除此以外，有时，我们又要求它能够简单些，少消耗我们一点儿力量，让我们在其他方面也去活动活动。举个例子说，一种法则若是要重复地运用，我们也可以想一个方法来代替它。比如，从150中减去3，减了一次又一次，多少次可以减完？这题目自然是可能的，但真要去减谁有这样的耐心！没趣得很，是不是？于是我们就另开辟一条行人便道，那便是除法。将3去除150就得50。要回答上面的问题，你说多少次可减完？同样地，加法，若只是同一个数尽管加了又加，也乏味得很，又另开辟一条路，挂块牌子叫乘法。

话说回来，我们以前讲过的一些方法，也可以扩充它的应用范围吗？也可以将它的法则推广吗？

讲诱导函数的时候，我们限定了对于x的每一个值，都有一个固定的极限。所以，我们就知道，对于x的每一个值，它都有一个相应的值。归根结底，我们便可以将诱导函数y′看成x的已知函数。结果，一样地，也就可以计算诱导函数y′对于x的诱导函数，这就成为诱导函数的诱导函数了。我们叫它二次诱导函数，用y″表示。

其实，要得出一个函数的二次诱导函数，并不是难事，将诱导函数法连用两次就好了，比如前面我们拿来做例的：

它的诱导函数是：

将这个函数，照d = 5t的例计算，就可得出二次诱导函数：

二次诱导函数对于一次诱导函数的关系，恰和一次诱导函数对于本来的函数的关系相同。一次诱导函数表示本来的函数的变化，同样地，二次诱导函数就表示一次诱导函数的变化。

我们开始讲诱导函数时，用运动来做例，现在再重借它来解释二次诱导函数，看看能不能衍生出什么玩意儿。

我们曾经从运动中看出来，一次诱导函数是表示每一刹那间一个点的速度。所谓速度的变化究竟是什么意思呢？假如一个东西，第一秒钟的速度是4米，第二秒钟是6米，第三秒钟是8米，这速度越来越大，按我们平常的说法，就是它越动越快。若是说得文气一点，便是它的速度逐渐增加，你不要把“增加”这个词看得太呆板了，所谓增加也就是变化的意思。所以速度的变化，就只是运动的速度的增加，我们便说它是那运动的“加速度”。

要想求出一个运动着的点在一刹那间的加速度，只需将从前我们所用过的求一刹那间的速度的方法，重复用一次就行了。不过，在第二次的时候，有一点必须加以注意：第一次我们求的是距离对于时间的诱导函数，而第二次所求的却是速度对于时间的诱导函数。结果，所谓加速度这个东西，便等于速度对于时间的诱导函数。我们可以用下面的一个式子来表示这种关系：

因为速度是用运动所经过的空间对于时间的诱导函数来表示，所以加速度也只是这运动所经过的空间对于时间的二次诱导函数。

有了一次和二次诱导函数，应用它们，对于运动的情形我们更能知道得清楚些，它的速度的变化是怎样一个情景，我们便可完全明了。

假如一个点始终是静止的，那么它的速度便是零，于是一次诱导函数也就等于零。

反过来，假如一次诱导函数，或是说速度等于零，我们就可以断定那个点是静止的。

跟着这个推论，比如已经知道了一种运动的法则，我们想要找出这运动着的点归到静止的时间，只要找出什么时候，它的一次诱导函数等于零，那就成了。

随便举个例来说，假设有一个点，它的运动法则是：

由以前讲过的例子，t2的诱导函数是2t，而5t的诱导函数是5，所以：

就是这个点的速度，在每一刹那t间是2t–5，若要问这个点什么时候静止，只要找出什么时候它的速度等于零就行了。但是，它的速度就是这运动的一次诱导函数d′。所以若d′等于零时，这个点就是静止的。我们再来看d′怎样才等于零。它既等于2t–5，那么2t–5若等于零，d′也就等于零。因此我们可以进一步来看2t–5等于零需要什么条件。我们试解下面的简单方程式：

解这个方程式的法则，我相信你没有忘掉，所以我只简洁地回答你，这个方程式的根是2.5。假如t是用秒做单位的，那么，便是2.5秒的时候，d′等于零，就是那个点在开始运动2.5秒后归于静止。

现在，我们另外讨论别的问题，假如那点的运动是等速的，那么，一次诱导函数或是说速度，是一个常数。因此，它的加速度，或是说它的速度的变化，便等于零，也就是二次诱导函数等于零。一般的情况，一个常数的诱导函数总是等于零的。

又可以掉过话头来说，假如有一种运动法则，它的二次诱导函数是零，那么它的加速度自然也是零。这就表明它的速度老是一个样子没有什么变化。从这一点，我们可以知道，一个函数，若它的诱导函数是零，它便是一个常数。

再接着推下去，若是加速度或二次诱导函数，不是一个常数，我们又可以看它有什么变化了。要知道它的变化，不必用别的方法，只要找它的诱导函数就行了。这一来，我们得到的却是第三次诱导函数。在一般的情形当中，这第三次诱导函数也不一定就等于零的。假如，它不是一个常数，就可以有诱导函数，这便成第四次的了。照这样尽管可以推下去，不过连续地重复用那诱导函数法罢了。无论第几次的诱导函数，都表示它前一次的函数的变化。

这样看来，关于函数变化的研究是可以穷追下去的。诱导函数不但可以有第二次的、第三次的，简直可以有无限次数的。这全看那些数的气量如何，只要不是被我们追过几次便板起脸孔，死气沉沉地成了一个常数，我们才可以就此停手。