现在还是来说关于运动的现象。有一条大路或是一条小槽，在那条路上有一个轮子正转动着，或是在这小槽里有一个小球正在滚动着。倘若我们想找出它们运动的法则，并且要计算出它们在进行中的速度，比前面的还要精密的方法，究竟有没有呢？

将就以前说过的例子，本来也可以再讨论下去，不过为着简便起见，我们无妨将那个例子的特殊情形归纳为一般的情况。用一条线表示路径，用一些点来表示在这路上运动的东西。这么一来，我们所要研究的问题，就变成一个点在一条线上的运动的法则和这个点在进行中的速度了。

索性更简单些，就用一条直线来表示路径：这条直线从O点起，无限地向着箭头所指示的方向延伸出去。

在这条直线上，依着同一方向，有一点P连续地运动，它运动的起点也就是O。对于这个不停运动的P点，我们能够求出它在那直线上的位置吗？是的，只要我们知道在每个时间t，这个运动着的P点间隔O点多远，那么，它的位置也就能确定了。

和之前的例子一样，连续运动在空间的径路是时间的一个连续函数。

先假定这个函数是已经知道了的，不过这并不能解决我们所要讨论的问题。我们还不知道在这运动当中，P点的速度究竟是怎样，也不知道这速度有什么变化。经过我这么一提醒，你将要失望了，将要皱眉头了，是不是？

且慢，不用着急，我们请出一件法宝来，这些问题就迎刃而解了！这是一件什么法宝呢？以后你就知道了，先只说它的名字叫作“诱导函数法”。它真是一件法宝，它便是数学园地当中，挂有“微分法”这个匾额的那座亭台的基石。

“运动”本来不过是从时间和空间的关系的变化出来的。不是吗？你倘若老是把眼睛闭着，尽管你心里只是不耐烦，觉得时间真难熬，有度日如年之感，但是一只花蝴蝶在你的面前蹁跹地飞着，上下左右地回旋，你哪儿会知道它在这么有兴致地动呢？原来，你闭了眼睛，你面前的空间有怎样的变化，你真是茫然了。同样地，倘使尽管空间有变化，但你根本就没有时间感觉，你也没有办法理解“运动”是怎么一回事！

倘若对于测得的时间t的每一个数，或者说得更好一些，对于时间t的每一个数值，我们都能够计算出距离d的数值来，这就是某种情形当中的时间和空间的关系的变化已经被我们知晓了。那运动的法则，我们自然而然也就知道了！我们就说：距离是时间的已知函数，简便一些，我们说d是t的已知函数，或者写成d=f（t）。

对于你的小弟弟在大门外地上爬的例子，这公式就变成了d=5t。另外随便举个例子，比如d=3t+5，这时就有了两个不同的运动法则。假如时间用分钟计算，距离用米计算。在第一个式子中，若时间t是10分钟，那么距离d就得50米。但在第二个式子中，d=3t+5所表示的是运动的法则，10分钟的结尾，那距离却是d=3×10+5，便是距出发点35米。

来说计算速度的话吧！先须得注意，和以前说过的一样，要能计算无限小的变动的速度，换句话说，就是要计算任何刹那的速度。

为了表示一个数值是很小的，小得与众不同，我们就在它的前面写一个希腊字母Δ（delta），所以Δt就表示一个极小极小的时间间隔。在这个时间当中，一个运动的东西所经过的路程自然很短很短，我们就用Δl表示。

现在我问你，那P点在时间Δt的间隔中，它的平均速度是什么？你没有忘掉吧！运动的平均速度等于这运动所经过的时间去除它所经过的距离。所以这里，你可以这样回答我：

这个回答一点儿没错，虽然现在的时间间隔和空间距离都很小很小，但要求这个很小的时间当中，运动的平均速度，还是只有这么一个老法子。

平均速度！平均速度！这平均速度，一开始不是就和它纠缠不清吗？不是觉得对于真实的运动情形，无论怎样都表示不出来吗？那么，在这里我们为什么还要说到它呢？不过，因为时间和空间所取的数值都很小的缘故，所以这里所说的平均速度很有用。要得出真实的速度而非平均的，要那运动只是一刹那间的，而非延续在一个时间间隔当中，我们只需把Δt无限制减小下去就行了。

我们先记好了前面已经说过的连续函数的性质，因为在一刹那t，运动的距离是d，在和t非常相近的时间，我们用t+Δt来表示，那么，相应地就有一个距离d+Δd和d也就非常相近。并且Δt越减小，Δd也跟着越小。

这样一来，我们所测定的时间，当它的数目非常小，差不多和零相近的时候，会得出什么结果呢？换句话说，就是时间t近于0的时候，这个?l/?t的比却变得很微小。因为前项Δl和后项Δt虽在变动，但它们的比差不多一样。

对于平均速度?d/?t，因为Δt同Δd无限减小，最终就会到达一个和?t定值v相差几乎是零的地步。关于这种情形，我们就说：“当Δt和Δd近于0的时候，v是?d/?t的比的极限（limite）。”

?d/?t既是平均速度，它的极限v就是在时间的间隔和相应的空间都近于零的时候，平均速度的极限。

结果，v便是在一刹那t动点的速度。将上面的话联合起来，可以写成：

找寻?d/?t的极限值的计算方法，我们就叫它是诱导函数法。

极限值v也有一个不大顺口的名字，叫作“空间d对于时间t的诱导函数”。

有了这个名字，我们说起速度来就便当了。什么是速度？它就是“空间对于一瞬的时间的诱导函数”。

我们又可以回到芝诺的“飞矢不动”的悖论上去了。对于他的错误，在这里还能够加以说明。芝诺所用来解释他的悖论的方法，无论多么巧妙，横在我们眼前的事实，总是让我们不能相信飞矢是不动的。你总看过变戏法吧？你明知道，那些使你看了吃惊到目瞪口呆的玩意儿都是假的，但你总找不出它们的漏洞来。我们若没有充足的论据来攻破芝诺的推论，那么，对于他这巧妙的悖论，也只好抱着看戏法时所有的吃惊的心情了。

现在，我们再用一种工具来攻打芝诺的推论。

古代的人并不比我们笨，速度的意义他们也懂得的，只可惜他们还有不如我们的地方，那就是关于无限小的量的观念一点儿没有。他们以为“无限小”就是等于零，并没有什么特别。因为这个缘故，他们吃了不少亏，像芝诺那般了不起的人物，在他的推论法中，这个当上得更厉害。

不是吗？芝诺这样说：“在每一刹那，那矢是静止的。”我们无妨问问自己，他的话真的正确吗？在每一刹那那矢的位置是静止的，和一个静止的东西一样吗？

再举个例来说，假如有两支同样的矢，其中一支用了比另一支快一倍的速度飞动。在它们正飞着的空隙，照芝诺想来，每一刹那它们都是静止的，而且无论飞得快的一支或是慢的一支，两支矢的“静止情形”也没有一点儿区别。

在芝诺的脑子里，快的一支和慢的一支的速度，无论在哪一刹那都等于零。

但是，我们已经看明白了，要想求出一个速度的精准值，必须要用到“无限小”的量，以及它们的相互关系。上面已经讲过，这种关系是可以有一个一定的极限的。而这个极限呢，又恰巧可以表示出我们所设想的一刹那时间的速度。

所以，在我们的脑海里，和芝诺就有点儿不同了！那两支矢在一刹那的时间，它们的速度并不等于零：每支都保持各自的速度，在同一刹那的时间，快的一支的速度总比慢的一支的速度大一倍。

把芝诺的思想，用我们的话来说，得出这样一个结论：他推证出来的好像是两个无限小的量，它们的关系必须等于零。对于无限小的时间，照他想来，那相应的距离总是零，这你会觉得有点儿可笑了，是不是？但这也不能全怪芝诺，在他活着的时候，什么极限呀、无限小呀，这些观念都还没有规定清楚呢。速度这东西，我们把它当作距离和时间的一种关系，所以在我们看来，那飞矢总是动的。说得明白点儿，就是：在每一刹那，它总保持一个并不等于零的速度。

好了！关于芝诺的话，就此停止吧！我们来说点儿别的吧！

你学过初等数学，是不是？你还没有全忘掉吧！在这里，就来举一个计算诱导函数的例子怎么样？先选一个极简单的运动法则，好，就用你的弟弟在大门外爬的那一个例子：

无论在哪一刹那t，最后他所爬的距离总是：

我们就来计算你的弟弟在地上爬时，这一刹那的速度，就是找空间d对于时间t的诱导函数。设若有一个极小极小的时间间隔Δt，就是说刚好接连着t1的一刹那t1+Δt，在这时候，那运动着的点，经过了空间Δd，它的距离就应当是：

这个小小的距离Δd，我们要用来做成这个比?d/?t的，所以我们可以?t先把它找出来。从（3）式的两边减去d1便得：

但是第（2）式告诉我们说d1=5t1，将这个关系代进去，我们就可以得到：

在时间Δt当中的平均速度，前面说过是?d/?t，我们要找出这个比等?t于什么，只需将Δt除前一个式子的两边就好了。从这个例子（?d）看来，无论Δt怎样减小，总是一个常数。因此，?t即使我们将Δt的值尽量地减小，到了简直要等于零的地步，那速度V的值，在t1这一刹那，也是等于5，也就是诱导函数等于5，所以：

这个式子表明无论在哪一刹那，速度都是一样的，都等于5。速度既然保持着一个常数，那么这运动便是等速的了。

不过，这个例子是非常简单的，所以要求出它的结果也非常容易。至于一般的例子，那就往往很麻烦，做起来并不像这般轻巧。

就现实的情形说，d=5t这个运动法则，明明指出运动所经过的路程（比如用米做单位）总是运动所经过的时间（比如用分钟做单位）的五倍。一分钟你的弟弟在地上爬五米，两分钟便爬了十米，所以，他的速度总是等于每分钟五米。

再另外举一个简单的运动法则来做例，不过它的计算却没有前一个例子简便。假如有一种运动，它的法则是：

依照这个法则，时间用秒做单位，空间用米做单位。那么，在2秒钟的结尾，它所经过的空间应当是4米；在3秒钟的结尾，应当是9米……照样推下去，米的数目总是秒数的平方。所以在10秒钟的结尾，所经过的空间便是100米。

还是用空间对于时间的诱导函数来计算这运动的速度吧！

为了找出诱导函数来，在时间t的任一刹那，设想这时间增加了很小一点儿Δt。在这Δt很小的一刹那当中，运动所经过的距离e也加上很小的一点儿Δe。从（1）式我们可以得出：

现在，我们就可以从这个式子中求出Δe和时间t的关系了。在（2）式里面，两边都减去e，便得：

因为e=t2，将这个值代进去：

到了这里，我们将式子的右边简化。这，第一步就非将括号去掉不可。朋友！你也许忘掉了吧？我问你，（t +Δt）2去掉括号应当等于什么？想不上来吗？我告诉你，它应当是：

所以（3）式又可以照下面的样子写：

式子的右边有两个t2，一个正一个负恰好消去，式子也更简单些：

接着就来找平均速度?e/?t ，应当将Δt去除（4）式的两边：

现在再把式子右边的两项中分子和分母的公因数Δt抵消，只剩下：

倘若我们所取的Δt真是小得难以形容，简直几乎就和零一样，这就可以得出平均速度的极限：

于是，我们就知道在t刹那时，速度v和时间t的关系是：

你把这个结果和前一个例子的结果比较一下，你总可以看出它们俩有些不一样吧！最明显的，就是前一个例子的v总是5，和t没有一点儿关系。这里却没有那么简单，速度总是时间t的两倍。所以恰在第一秒的间隔，速度是2米，但恰在第二秒的一刹那，却是4米了。这样推下去，每一刹那的速度都不同，所以这种运动不是等速的。