朋友，你留神过吗？当你舒舒服服地坐着，因为有什么事要走开的时候，你站起来后走的前几步一定比较慢，然后才渐渐地加快。将要到达你的目的地时，你又会慢起来的。自然这是一般的情形，赛跑就是例外。那些运动家在赛跑的时候，因为被奖品冲昏了头脑，就是已到了终点，还是玩命地跑。不过这时的终点，只是对“奖品到手”的一声叫喊。他们真要停住，总得慢跑几步，不然就得要人来搀扶，不然就只好跌倒在地上。这种行动的原则，简直是自然界的法则，不只是你我知道，你去看狗跑、看鸟飞、看鱼游。

还是说火车吧！一列火车初离站台的时候，行驶得多么平稳、多么缓慢，后来它的速度却渐渐快了起来，在长而直的轨道上奔驰。快要到站的时候，它的速度又渐渐减小了，后来才停止在站台边。记好这个速度变化的情况，假使经过两个半小时，火车一共走了125公里。要问这火车的速度是什么，你怎样回答呢？

我们看见了每一瞬间都在变化的速度，那在某路线上的一列车的速度，我们能说出来吗？能全凭旅行人的迟钝的测量回答吗？

再举一个例，然后来讲明速度的意义。

用一块平滑的木板，在上面挖一条光滑的长槽，槽边上刻好厘米、分米和米各种数目。把一个光滑的小球放在木槽的一端，让它自己向前滚出去，看着时表，注意这木球过1米、2米、3米的时间，假设正好是1秒、2秒和3秒。

这木球的速度是什么呢？

在这种简单的情形中，这问题很容易回答：它的速度在3米的路上总是一样的，每秒钟1米。

在这种情形底下，我们说这速度是一个常数。而这种运动，我们称它是“等速运动”。

一个人骑自行车在一条直路上走，若是等速运动，那么它的速度就是常数。我们测得他8秒钟共走了40米，这样，他的速度便是每秒钟5米。

关于等速运动，如这里所举出的球的运动、自行车的运动，或其他相似的运动，要计算它们的速度，这比较容易。只要考察运动所经过的时间和通过的距离，用所得的时间去除所得的距离，就能够得出来。3秒钟走3米，速度为每秒钟1米；8秒钟走40米，速度为每秒钟5米。

再用我们的球来试速度不是常数的情形。

把球“掷”到槽上，也让它自己“就势”滚出去，我们可以看出，它越滚越慢，假设在5米的一端停止了，一共经过10秒钟。

这速度的变化是这样：前半段的速度比在半路的大，后半段的速度却渐渐减小，到了终点便等于零。

我们来推究一下，这样的速度，是不是和等速运动一样是一个常数？

我们说，它10秒钟走过5米，倘若它是等速运动，那么它的速度就是每秒钟5/10或1/2米。但是，我们明明可以看出来，它不是等速运动，所以我们说每秒钟1/2米是它的“平均速度”。

实际上，这球的速度先是比每秒钟1/2米大，中间有一个时候和它相等，以后就比它小了。假如另外有个球，一直都用这个平均速度运动，它经过10秒钟，也是停止在5米的地方。

看过这种情形后，我们再来答复前面关于火车的速度的问题：“假使经过两个半小时，火车一共走了125公里，这火车的速度是什么？”

因为这火车不是等速运动，我们只能算出它的平均速度来。它两个半小时一共走了125公里，我们说，它的平均速度在那条路上是每小时125/5/2公里，就是每小时50公里。

我们来想象，当火车从车站开动的时候，同时有一辆汽车也开动，而且就是沿了那火车的轨道走，不过它的速度总不变，一直是每小时50公里。起初汽车在火车的前面，后来被火车追上来，到最后，它们却同时到达停车的站上。这就是说，它们都是两个半小时一共走了125公里，所以每小时50公里是汽车的真速度，而是火车的平均速度。

通常，若知道了一种运动的平均速度和它所经过的时间，我们就能够计算出它所通过的路程。那两个半小时一共走了125公里的火车，它有一个每小时50公里的平均速度。倘若它夜间开始走，从我们的时表上看去，一共走了七个小时，我们就可计算出它大约走了350公里。

但是这个说法，实在太粗疏了！只是给了一个总集的测量，忽略了它沿路的运动情形。那么，还有什么方法可以更好地知道那火车的真速度呢？

倘若我们再有一次新的火车旅行，我们能够从铁路旁边立着的电线杆上看出公里的数目，又能够从时表上看到火车所行走的时间。每走1公里所要的时间，我们都记下来，一直记到125次，我们就可以得出125个平均速度。这些平均速度自然全不相同，我们可以说，现在对于那火车的运动的认识是很详细了。由那些渐渐加大又渐渐减小的125个不同的速度，在这一段行程中，火车的速度的变化的观念，我们大体是有了。

但是，这就够了吗？火车在每一公里中间，它是不是等速运动呢？倘若我们能够回答一个“是”字，那自然上面所得的结果就够了。可惜这个“是”字不好轻易就回答！我们既已知道火车全程不是等速运动，同时却又说，它在每一公里中是等速运动，这种运动的情形实在很难想象得出来。两个速度不相等的等速运动，是没法直接相连接的。所以我们不能不承认火车在每一公里内的速度也有不少的变化。这个变化，我们有没有方法去考察出来呢？

方法自然是有的，照前面的式样，比如说，将一公里分成一千段，假如我们又能够测出火车每走一小段的时间，那么我们就可得出它在一公里的行程中的一千个不同的平均速度。这很好，对于火车的速度的变化，我们所得到的观念更清晰了。倘若能够将测量弄得更精密些，再将每一小段又分成若干个小小段，得出它们的平均速度来。段数分得越多，我们得出来的不同的平均速度也就跟着多起来。我们对于那火车的速度的变化的观念，也更加明了。路程的段落越分越小，时间的间隔也就越来越近，所得的结果也就越弄越精密。然而，无论怎样，所得出来的总是平均速度。而且，我们还是不要太高兴了，这种分段求平均速度的方法，若只空口说白话，我们固然无妨乐观一点，可尽量地连续想下去。至于实际要动起手来，那就有个限度了。

若想求物体转动或落下的速度，即如行星运转的速度，我们必须取出些距离——若那速度不是一个常数，就尽可能地取最小的——而注意它在各距离中经过的时间，因此得到一些平均速度。这一点必须注意，所得到的只是一些平均速度。

归根结底一句话，我们所有的科学实验，或日常经验，都由一种连续而有规律的形式给我们一个有变化的运动的观念。1我们不能够明明白白地辨认出比较大的速度或比较小的速度当中任何速度的变化。虽是这样，我们可以想象在任意两个相邻的速度中间，总有无数个中间速度存在着。

为了测量速度，我们把空间分割成一些有规则的小部分，而在每一小部分中，注意它所经过的时间，求出相应的“平均速度”，这是上面已说过的方法。空间的段落越小，得出来的平均速度越接近，也就越接近真实速度。但无论怎样，总不能完全达到真实的境界，因为我们的这种想法总是不连续的，而运动却是一个连续的量。

这个方法只能应用到测量和计算上，它却不能讲明我们的直觉的论据。

我们用了计算“无限小”的方法所推证得的结果来调和这论据和实验的差别，这是非常困难的，但是这种困难在很久以前就很清楚了，即如大家都知道的芝诺（Zeno of Elea）和他著名的芝诺悖论（Zeno’s Paradox）。所谓“飞矢不动”，便是一个好例。既说那矢是飞的，怎么又说它不动呢？这个话，中国也有《庄子》上面讲到公孙龙那班人的辩术，就引“镞矢之疾也，而有不行不止之时”这一条。不行不止，是怎样一回事呢？这比芝诺的话来得更玄妙了。从我们的理性去判断，这自然只是一种诡辩，但要找出芝诺的论证的错误，而将它推翻，却也不容易。芝诺利用这个矛盾的推论来否定运动的可能性，他却没有怀疑他的推论方法究竟有没有错误。这却给了我们一个机缘，让我们去找寻新的推论方法，并且把一些新的概念弄得更精密。关于“飞矢不动”这个悖论可以这样说：“飞矢是不动的。因为在它的行程上的每一刹那，它总占据着某一个固定的位置。所谓占据着一个固定的位置，那就是静止的了。但是一个一个的静止连接在一起，无论有多少个，它都只有一个静止的状态。所以说飞矢是不动的。”

在后面，关于这个从古至今打了不少笔墨官司的芝诺悖论的解释，我们还要重复说到。这里，只要注意这一点，芝诺的推论法，是把时间细细地分成了极小的间隔，使得他的反对派中的一些人推想到，这个悖论的奥妙就藏在运动的连续性里面。运动是连续的，我们从上例中早已明白了。但是，这个运动的连续性，芝诺在他无限地细分时间的间隔的当儿，却将它弄掉了。

连续性这东西，从前希腊人也知道。不过他们所说的连续性是直觉的，我们现在讲的却是由推论得来的连续性。对于解答“飞矢不动”这个悖论，显而易见，它是必要条件，但是单只有它并不充足。我们必须要精密地确定“极限”的意义，我们可以看出来，计算“无限小”的时候，就要使用到它的。

照前几段的说法，似乎我们对于从前的希腊哲人，如芝诺之流，有些失敬了。然而，我们可以看出来，他们的悖论虽然不合于真理，但他们已经认识到直觉和推理中的矛盾了！

怎样弥补这个缺憾呢？

找出一个实用的方法来，确保测量的精密性，使所得的结果更接近于真实，是不是就可以解决这样的问题呢？

这本来只是关于机械一方面的事，但以后我们就可以看出来，将来实际所得的结果即使可以超越现在的结果，根本的问题却还是解答不出来。无论研究方法多么完备，总是要和一串不连续的数连在一起，所以不能表示连续的变化。

真实的解答是要发明一种在理论上有可能性的计算方法，来表示一个连续的运动，能够在我们的理性上面，严密地讲明这连续性，和我们的精神所要求的一样。