一

近来有一位幼年时的邻居，从家乡出来的，跑来看望我。见到故乡人，想起故乡事，屈指一算，离家已将近二十年了，记忆中故乡的模样，还是二十年前的。碰见这么一位幼年朋友，在心境上好像已返老还童，一直谈论幼年的往事，石坎缝儿里寻蟋蟀，和尚庙中偷桂花，一切淘气事都会谈到。最后不知怎的，话头却转到死亡上去了，朋友很郑重地说出这样的话来：

——王老头子，卖汤圆的，已死去两年了。

一个须发全白、精神饱满、笑容可掬的老头子的面影，顿时从心底浮到了心尖。他叫什么名字，我不知道，因为一直听人家叫他王老头子，没有人提起过他的名字。从我自己会走到他的店里吃汤圆的时候起，他的头上已顶着银色的发，嘴上堆着雪白的须，是一个十足的老头子。祖父曾经告诉我，王老头子在我们的那条街上开汤圆店已有二三十年。祖父和许多人都常说，王老头子很古怪，每天只卖一盘子汤圆，卖完就收店，喝包谷烧1，照例四两。他今天卖的汤圆，便是昨天夜里做的。真的，当我起得很早的时候，要是走到王老头子的店门口，就可以看见他在升火，他的桌上有一只盘子，盘子里堆着雪白、细软的汤圆，用现在我所知道的东西的形状来说，那就有点儿像金字塔。假如要用数学教科书上的名字，那就是正方锥。

王老头子自然是平凡、不足树碑立传的人，不过他的和蔼可亲却是少有。我一听到他的死耗，不禁怅惘追忆，这也就可以证明他是如何捉住儿童们的活泼、无邪的心了。王老头子已死两年，至少做了四五十年的汤圆。在这四五十年中，每天都做尖尖的一盘。这他一生替人们做过多少汤圆哟，我想替他算一算。然而我不能算，因为我不曾留意过那一盘汤圆从顶到底共有多少层，我现在只来说一说，假如知道了它的层数，这总数怎么计算，可作为对王老头子的纪念。

二

这类题目的算法，在西洋数学中叫作积弹（Piles of Shot）和拟形数（Figurate numbers），又叫拟形级数（Figurate series）。中国叫垛积，旧数学中和它类似的算法，属于“少广”一类。最早见于朱世杰的《四元玉鉴》中茭草形段，如像招数和果垛叠藏各题，后来郭守敬、董祐诚、李善兰这些人的著作中把它讲得更详细。

这里我们先说大家从西洋数学中容易找到的积弹。积弹的计算法，已有一定的公式，因为堆积的方法不同，分为四类：如第一图各层是成正方形的；第二图各层是成正三角形的；第三图是成矩形的——这三种到顶上都是尖的——第四图各层都成矩形，而顶上是平的。用数学上的名字来说，第一图是正方锥；第二图是正三角锥；第三图侧面是等腰三角形，正面是等腰梯形；第四图侧面和正面都是等腰梯形。

第一图

第一图

第三图

第四图

所谓积弹，一般是知道了层数计算总数，在这里且先将各公式写出来。

（1）设n表示层数，也就是王老头子的汤圆底层每边的个数，则汤圆的总数是：

所以，若是王老头子的那盘汤圆有十层，那就是n等于10，因此，

（2）若王老头子的汤圆是照第二图的形式堆，那么，

所以，他若是也只堆十层，总数便是：

（3）这一种不但和层数有关系，并且与顶上一层的个数也有关系，设顶上一层有p个，则

举个例说，若第一层有五个，总共有十层，就是p等于5，n等于10，则

（4）自然这种和第一层的个数也有关系，而第一层既然也是矩形，它的个数就和这矩形的长、阔两边的个数有关。设顶上一层长边有a个，阔边有b个，则

举个例说，若第一层的长边有五个，阔边有三个，总共有十层，就是a等于5，b等于3，n等于10，则

不用说，已经有公式，只要照它计算出一个总数，是很容易的。不过，我们的问题是这公式是怎样得来的。

要证明这公式，有三种方法。

三

第一就说数学的归纳法的证明。

什么叫数学的归纳法，在堆罗汉中已经说过，这里要证明的第一个公式，也是那篇里已证明过的。为了那些不曾看过那篇的读者，只好简略地说一说所谓数学的归纳法，总共含有三个步骤：

（Ⅰ）就几个特殊的数，发现一个共同的式子。

（Ⅱ）假定这式子对于n是对的，而造出一个公式来。

（Ⅲ）设n变成了n+1，看这式子的形式是否改变。若不曾改变，那么，这式子就成立了。

因为由（Ⅱ）已经知道这式子关于n是对的，关于n+1也是对的。而由（Ⅰ）已知它关于几个特殊的数是对的——其实有一个就够了。不过（Ⅰ）只由一个特殊的数要发现较普遍的公式的形式比较困难——设若关于2是对的，那么关于2加1也是对的。2加1是3，关于3是对的，自然关于3加1“4”也是对的。这样一步一步地往上推，关于4加1“5”，5加1“6”，6加1“7”……就都对了。

以下就用这方法来证明上面的公式：

王老头子的汤圆的堆法，各层都是正方形，顶上一层是一个，第二层一边是二个，第三层一边是三个，第四层一边是四个……这样到第n层，一边便是n个。而正方形的面积，这是大家都已经知道的，等于一边的长的平方。所以若就各层的个数说，王老头子每夜所做的汤圆便是：

第一步我们容易知道：

第二步，我们就假定这式子关于n是对的，而得公式：

这就到了第三步，这假定的公式对于n+1也对吗？我们在这假定的公式中，两边都加上（n+1）2这便是Sn+1，所以

这最后的形式和我们所假定的公式完全一样，所以我们的假定是对的。

这公式是用于正三角锥形的，所谓正三角锥形，第一层是一个，第二层是一个加二个，第三层是一个加二个加三个，第四层是一个加二个加三个加四个……这样推下去到第n层便是：

1+2+3+4+……+n

而总和便是：

Sn=1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3+4）+……+（1+2+3+4+……+n）

第一步，我们找出，

第二步，我们就假定这式子关于n是对的，而得公式：

跟着到第三步，证明这假定的公式对于n+1也是对的，就是在假定的公式两边都加上1+2+3+4+……+n+n+1

这最后的形式，不是和我们所假定的公式的形式一样吗？可见我们的假定是对的。

第一步和证明前两个公式的，没有什么两样，我们无妨省事一点儿，将它略去，只来证明这公式对于n+1也是对的。这种堆法，第一层是p个，第二层是两个（p+1）个，第三层是三个（p+2）个……照样推上去，第n层是n个(　p　+　n?　1)个。所以，

而 Sn+1=p+2（p+1）+3（p+2）+……+（n+1）（p+n）假定上面的公式关于n是对的，则

不用说，这最后的形式，和我们假定的公式完全一样，我们所假定的公式便是对的。

我们也来假定它关于n是对的，而证明它关于n+1也是对的。这种堆法，第一层是ab个，第二层是（a+1）（b+1）个，第三层是（a+2）（b+2）个……照样推上去，第n层便是(a

+　n　?　1)(b

+　n ?　1)个，所以：a

+n)+n　?1)

假定上面的公式对于n是对的，则

在形式上，这最后的结果和我们所假定的公式也没有什么分别，可知我们的假定一点儿不差。

四

用数学的归纳法，四个公式都证明了，按理说我们可以心满意足了。但是，仔细一想，这种证明法，巧妙固然巧妙，却有一个大大的困难在里面。这困难并不在从Sn证Sn+1这第二、第三两步，而在第一步发现我们所要假定的Sn的公式的形式。假如别人不曾将这公式提出来，你要从一项、两项、三项、四项……老老实实地相加而发现一般的形式，这虽然不好说不可能，但真是不容易，因此我们再说另外一种找寻这几个公式的方法。

我把这一种方法，叫分项加合法，这是一种知道了一个级数的一般项，而求这级数的n项的和的一般的方法。

什么叫级数、算术级数和几何级数，大概早已在你洞鉴之中了。那么，可以更广泛地说，一串数，依次两个两个地有相同的一定的关系存在，这串数就叫级数。比如算术级数每两项的差是相同的、一定的；几何级数每两项的比是相同的、一定的。当然在级数中，这两种算是最简单的，其他的都比较复杂，所以每两项的关系也不易发现。

什么叫级数的一般项？换句话说，就是一个级数的第n项。若算术级数的第一项为a，公差为d，则一般项为a+（n-1）d；若几何级数的第一项为a，公比为r，则一般项为arn-1。回到上面讲的积弹法上去，每种都是一个级数，它们的一般项便是：（1）n2；（2）n(n+1)/2或1/2(n2+n)；（3）n(　p　+　n?　1)或np+n2-n；（4）(a

+　n　?　1)(b

+　n ?　1)或ab+（a+b）（n-1）+（n-1）2。

四个一般项除了（1）以外，都可认为是两项以上合成的。在一般项中设n为1，就得第一项；设n为2，就得第二项；设n为3，就得第三项……设n为什么数，就得第什么项。所以对于一个级数，倘若能够知道它的一般项，我们要求什么项都可以算出来。

为了写起来便当，我们来使用一个记号，例如

Sn=1+2+3+4+……+n

我们就写成∑n，读作Sigma n。∑是一个希腊字母，相当于英文的S。S是英文Sum（和）的第一个字母，所以用∑表示“和”的意思。而∑n便表示从1起，顺着加2，加3，加4……一直加到n的和。同样地，

∑n（n+1）=1·2+2·3+3·4+4·5+……+n（n+1）

∑n2=12+22+32+42+……+n2

记好这个符号的用法和上面所说过的各种一般项，就可得出下面的四个式子：

（1）Sn=∑n2=12+22+32+42+……+n2

这样一来，我们可以看得很明白，只要将（1）求出，以下的三个就容易了。关于（1）的求法运用数学的归纳法固然可以，即或不然，还可参照下面的方法计算。

我们知道：

13-03=3·12-3·1+1

若将这n个式子左边和左边加拢，右边和右边加拢，便得

这个结果和前面证过的一样，但来路比较清楚。利用它，（2）（3）（4）便容易得出来。

五

前一种证明法，来得自然有根源，不像用数学的归纳法那样突兀。但还有一点，不能使我们满意，不是吗？每个式子的分母都是1×2×3，就前面的证明看来，明明只应当是2×3，为什么要写成1×2×3呢？这一点，若再用其他方法来寻求这些公式，那就可以恍然大悟了。

这一种方法可以叫作差级数法。所谓拟形级数，不过是差级数法的特别情形。

怎样叫差级数？算术级数就是差级数中最简单的一种，例如1、3、5、7、9……这是一个算术级数，因为3-1=5-3=7-5=9-7=……=2

但是，王老头子的汤圆的堆法，从顶上一层起，顺次是1、4、9、16、25……各各两项的差是 4-1=3， 9-4=5， 16-9=7， 25-16=9……

这些差全不相等，所以不能算是算术级数，但是这些差3、5、7、9……的每两项的差都是2。

再如第二种三角锥的堆法，从顶上起，各层的个数依次是1、3、6、10、15……各各两项的差是 3-1=2， 6-3=3， 10-6=4， 15-10=5……

这些差也全不相等，所以不是算术级数，不过它和前一种一样，这些差数依次两个的差是相等的，都是1。

我们来另找个例，如13、23、33、43、53、63……这些数立方之后便是1、8、27、64、125、216……而

（Ⅰ）8-1=7，27-8=19，64-27=37，125-64=61，216-125=91……

（Ⅱ）19-7=12，37-19=18，61-37=24，91-61=30……

（Ⅲ）18-12=6，24-18=6，30-24=6……

这是到第三次的差才相等的。

再来举一个例子，如2，20，90，272，650，1332……

（Ⅰ）20_2=18， 90-20=70， 272_90=182， 650_272=378，1332_650=682……

（Ⅱ）70-18=52， 182-70=112， 378-182=196， 682-378=304……

（Ⅲ）112-52=60， 196-112=84， 304-196=108……

（Ⅳ）84-60=24， 108-84=24……

这是到第四次的差才相等的。

像这些例一般的一串数，照上面的方法一次一次地减下去，终究有一次的差是相等的，这一串数就称为差级数，第一次的差相等的叫一次差级数，第二次的差相等的叫二次差级数，第三次的差相等的叫三次差级数，第四次的差相等的叫四次差级数……第r次的差相等的叫r次差级数。算术级数就是一次差级数，王老头子的一盘汤圆，各层就成一个二次差级数。

所谓拟形数就是差级数中的特殊的一种，它们相等的差才是1。这是一件很有趣味的东西。法国的大数学家布莱士·帕斯卡（Blaise Pascal）在他1665年发表的《算术的三角论》（Traité du triangle arithmétique）中，就记述了这种级数的作法，他作了如后的一个三角形。

这个三角形仔细玩赏一下，趣味非常丰富。它对于从左上向右下的这条对角线是对称的，所以横着一排一排地看，和竖着一行一行地看，全是一样。

它的作法是：（Ⅰ）横、竖各写同数的1。（Ⅱ）将同行的上一数和同排的左一数相加，便得本数。即

1+1=2，1+2=3，1+3=4……2+1=3，3+3=6……3+1=4，6+4=10……

4+1=5，10+5=15……5+1=6，15+6=21……6+1=7，21+7=28……

7+1=8，28+8=36……8+1=9……

由这个作法，我们很容易知道它所包含的意味。就竖行说（自然横排也一样），从左起，第一行是相等的差，第二行是一次差级数，每两项的差都是1。第三行是二次差级数，因为第一次的差就是第二行的各数。第四行是三次差级数，因为第一次的差就是第三行的各数，而第二次的差就是第二行的各数。同样地，第五行是四次差级数，第六行是五次差级数……

这种玩意儿的性质，布莱士·帕斯卡有过不少的研究，他曾用这个算术三角形讨论组合，又用它发现许多关于概率的有趣味的东西。

上面已经说过了，王老头子的一盘汤圆，各层正好成一个二次差级数。倘若我们能够知道计算一般差级数的和的公式，岂不是占了大大的便宜了吗？

对，我们就来讲这个。让我们偷学布莱士·帕斯卡来作一个一般差级数的三角形。

差，英文是difference，和用S代Sum一般，如法炮制就用d代difference。本来已够用了，然而我们还可以更别致一些，用一个相当于d的希腊字母Δ来代。设差级数的一串数为u1，u2，u3……第一次的差为Δu1，Δu2，Δu3……第二次的差为Δ2u1，Δ2u2，Δ2u3……第三次的差为Δ3u1，Δ3u2，Δ3u3……这样一来，就得下面的三角形。

这个三角形的构成，实际上说，非常简单，下一排的数，总是它上一u5，排的左右两个数的差，即：加法可以说是减法的还原，因此由上面的关系，便可得出：

照样地，第二排当作第一排，第三排当作第二排，便可得：

把（1）（2）（3）三个式子一比较，右边各项的数系数是1，1；1，2，1；1，3，3，1。这恰好相当于二项式（a+b）=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，各展开式中各项的系数。根据这个事实，依照数学的归纳法的步骤，我们无妨走进第二步，假定推到一般，而得出：

照前面的样子，把第n+1排作第一排，第n+2排作第二排，便可得：

将这两个式子相加，很巧就得：

这不是已将数学的归纳法的三步走完了吗？可见我们假定对于n的公式若是对的，那么，它对于n+1也是对的。而事实上它对于1、2、3、4等都是对的，可见得它对于6、7、8……也是对的，所以推到一般都是对的。倘若你还记得我们讲组合——见棕榄谜——时所用的符号，那么就可将这公式写得更简明一点：

这个式子所表示的是什么，你可知道？它就是用差级数的第一项，和各次差的第一项，表出这差级数的一般项。假如王老头子的那一盘汤圆总共堆了十层，因为，这差级数的第一项u1是1，第一次差的第一项Δu1是3，第二次差的第一项Δ2u1是2，第三次以后的Δ3u1、Δ4u1都是0，所以第十层的汤圆的个数便是：

这个得数谁也用不到怀疑，王老头子的那盘汤圆的第十层，正是每边十个的正方形，总共恰好一百个。

我们要求的原是计算差级数和的公式，现在跑这野马干什么？

别着急！朋友！就来了！再弄一个小小的戏法，保管你心满意足。

我们在前面差级数三角形的顶上加一串数v1、v2、v3……vn、vn+1不过就是胡乱写些数，它们每两项的差，就是u1、u2、u3……un。这样一来，它们便是n+1次差级数，而第一次的差为

若是我们惠而不费地将vn+1点缀得富丽堂皇些，无妨将它写成下面的样子：

假使造这串数的时候，取巧一点，v1就用0，那么，便得：

所以若用求一般项的公式来求vn+1得出来的便是u1+u2+u3+……+un的和。但就公式说，这个差级数中，u1=0，Δu1=u1，Δ2u1=Δu1……Δn+1u=Δnu1

这个戏法总算没有变差，由此我们就知道：

假如照用惯了的算术级数的样儿将a代第一项，d代差，并且不用组合所用的符号　C rn，那么n次差级数n项的和便是：

有了这公式，我们就回头去解答王老头子的那一盘汤圆，它是一个二次差级数，对于这公式说：a=1，d1=3，d2=2，d3=d4=……=0。

第二种三角锥的堆法，前面也已说过，仍是一个二次差级数，对于这公式，a=1， d1=2， d2=1，d3=d4=……=0。

至于第三种堆法，它各层的个数及各次的差是：

也是一个二次差级数，u1=p，d1=p+2，d2=2，d3=d4=……=0

最后，再把这个公式运用到第四种堆法，它的每层的个数以及各次的差是这样的：

ab，（a+1）（b+1），（a+2）（b+2），（a+3）（b+3）……

（a+b）+1，（a+b）+3，（a+b）+5……

2， 2 ……

所以也是一个二次差级数，就公式说，u1=ab，Δu1=（a+b）+1，Δu2=2，Δu3=Δu4=……=0

用差级数的一般求和的公式，将我们开头提出的四个公式都证明了。这种证明真可以算是无疵可指，就连最后分母中那事实上无关痛痒的1×2×3中的1也给了它一个详细说明。这种证法，不但有这一点点的好处，由上面的经过看来，我们所提出的四个公式，全都是这差级数求和的公式的运用。因此只要我们已彻底地了解了它，这四个公式就不值一顾了，数学的理论的发展，永远是霸道横行，后来居上的。

六

一开头曾经提到我们的老前辈朱世杰先生，这里就以他老人家的功绩来作结束。上面我们只提到四种堆法，已闹得满城风雨，借用了许多法宝，才达到心安理得的地步。然而在朱老先生的大著《四元玉鉴》中，“茭草形段”只有七题，“如像招数”只有五题，“果垛叠藏”虽然多一些，也只有二十题，总共不过三十二题。他所提出的堆垛法有些名词却很别致，现在列举在下面，至于各种求和的公式，那不用说，当然可依样画葫芦地证明了。

（1）落一形——就是三角锥形。

（2）刍甍垛——就是前面第三种堆法。

（3）刍童垛——就是矩形截锥台。

（4）撒星形——三角落一形——就是1，（1+3），（1+3+6）……

（5）四角落一形——就是 12，（12+22），（12+22+32）……（12+22+……+n2）

（6）岚峰形——就是1，（1+5），（1+5+12）……

（8） 四　角 岚 峰 形　—— 就 是1·12，2（12+22），3（12+22+32）　……n（12+22+32+……+n2）