“我们谈逻辑谈了这许久，谈了几种推论。在这几种推论之中，我们常常提到语句。可是，我们在这些场合中提到语句，只假定了语句，而对于语句未曾分析。我们在以上之所以如此，是因为在那些推论之中，我们只需以未经解析的语句作推论中的元素就够了。可是，这种办法对于以后所要说的推论行不通，我们在以后所要谈的推论是以经过解析的语句作骨架的。因此，我们在这里必须对语句加以解析，以未经解析语句作元素的推论可说是外部推论outward inference）。所谓外部推论，所涉及的是语句与语句之间的逻辑关系。在这种情形之下，推论有效与否和各个语句自身内部的结构毫不相干。而以经过解析的语句作骨架的推论，叫作内部推论（inward inference）。所谓内部推论，所涉及的并不是每一语句可能表示的特殊内容（content），而是语句内部的逻辑结构。比如说，什么包含什么，什么是什么的一分子，等等。在这种情形之下，推论有效与否，和语句自身内部这类的结构直接相干。”吴先生一面说着一面抽烟。

“我简直不懂。”周文璞很着急的样子。

“这当然需要一番解释。”老教授继续道，“我们在前几次所说的选取推论和条件推论以及二者之复合，都是外部推论。兹以条件推论为例。在条件推论中，我们曾经用过p、q等字母。在这种场合，p、q……叫作变量，严格地说，叫作自由变量（free variables）。代数学里也有变量，如X、Y等。在条件推论之中，我们以p、q各别代表任何语句。在这种推论之中，只要合于这种推论的规律，以p、q代表语句所行的这种推论总是有效的。在这种场合，我们根本不知道p、q……的内部结构，而且我们根本无须过问它们的内部结构。当我们根本不知道p、q……的内部结构时，条件推论照样有效。例如说，如果我们知道p涵蕴q，而且又知道q涵蕴r，那么，我们可以不问p、q、r各别地代表什么，更不必问p、q、r这些语句的内部结构如何，我们可以确切无疑地说p涵蕴r。这样的推论就是外部推论。既然外部推论完全不靠语句的内部结构，这好比从前津浦铁路，火车从浦口开到南京，车内乘客根本不用换车，而是火车乘渡轮到南京似的。载人的火车还是原来的火车，火车内的人还是原来的人。所不同的，只是火车由浦口过渡到南京而已，内容毫无改变。”

“那么，内部推论是怎样的呢？”王蕴理问。

“我预备以后有机会作比较详细的解析。不过，在谈内部推论之先，我们必须对于‘语句’有所了解。我们现在就来谈这一点。我们著书立说，写文章，写信，或表达情意，常借语言来进行。我们在借着语言来进行这些事的时候，所用的有意义的单位，总是语句。当然，在我们日常言谈之间，不一定完全说出一完整的语句。例如‘火！’。在这类情形之中，完整的语句形式是隐伏不见的；虽然隐伏不见，可是还是有完整的意义。例如‘城门失火！’。我们在有些场合之中说话或写文章，为了简短有力，或为了动听，或为了逗趣……常常不说出完整的语句，而只说出一二个字。比如在看戏时，我们喝彩，就说‘好！’‘妙！’。我们不说‘这戏唱得真好！’，否则就太笨了，是不是？但是，在严格的语言之科学的用法里，却要求我们陈述完整的语句。简短有力、动听、逗趣的语言不见得是精确的语言，精确的语言不见得都是简短有力的、动听的，或逗趣的。我在这里所谓的‘精确’语言，至少有一方面的意义，就是能够确定其真正的所指；或能够确定其真假。严格的语言之科学的用法，必须满足这一点。所以，我们在这里所说的‘语句’是形式明显而且语法完备的语句。例如，‘莎士比亚是《威尼斯商人》剧本的作者’。

“但是，希望各位注意，我们说合于科学用法的语句是语法形式完备的语句，可是，并不是说语法形式完备的语句就一定是合于科学用法的语句，合于科学用法的语句是语法形式完备的语句之一种或一部分而已。各位都读过英文文法，英文文法告诉我们，语句有四种：一、请求或希望或命令语句；二、询问语句；三、惊叹语句；四、直叙语句。第一种，例如‘请你明天来开会’或‘愿上帝保佑自由人’。第二种，例如‘你喜欢喝葡萄酒吗？’‘第三次世界大战谁先动手？’。第三种，例如‘哎呀！原子弹爆发了！’‘啊哟！木屋区失火了！’。第四种，例如‘纽约市有八百万人口’‘地球是三角形的’。

“在这四种语句之中，前三种是没有真假可言的。它们也许是伦理或宗教或文学的工具，但不是逻辑的工具。逻辑的工具是第四种语句，即直叙语句。……不过，”吴先生特别加重语气，“我们必须分辨清楚，在逻辑以直叙语句为研究工具时，逻辑既不研究一个一个特殊的直叙语句的特殊内容，又不研究它的文法构造，而只研究其普遍的语法结构（syntactical structures），或有时涉及其语意条件（semantical conditions）。当然，关于这一方面，我们在此只能提到而已。我们在此不能走得太远。这里所说的直叙语句，许多逻辑家叫作‘命辞’（proposition）。语句和命辞的分别是一个哲学问题，对于我们不甚重要。因此，我们在这里用‘语句’，是不过问命辞和语句有什么区别的。复次，我们为了简便起见，以‘语句’代替‘直叙语句’。以前是如此，以后也将如此。

“在一般情形之下，语句有一个主词、一个系词和一个宾词。例如，在‘海鸥是白的’这个语句之中，‘海鸥’是主词，‘是’乃系词，‘白的’乃宾词。我们将语句分作主词、宾词和系词，因而这种语句形式叫作‘主宾词式’（subject-predicate form），这种解析是传统的。这种传统的解析与文法上对于语句的解析很相似，因而也易相混。所以，有许多人老是将逻辑与文法分不开。其实，语句不必分解为主宾词式，即令可分解为主宾词式，形式也不限于这一种。可是，为了集中注意力起见，我们也不讨论。

“我们现在为了得到逻辑的简便，将主宾词式的语句分作包含二个词端（terms）和一个系词（connective）二者。在主词地位的词端可以是一个类（class），也可以是一个体。例如，在‘海鸥是水鸟’这个语句中，主位词端‘海鸥’是一个类，即海鸥之类。在‘罗素是哲学家’这个语句中，主位词端‘罗素’是一个体。这一个体乃‘哲学家’这一类的一分子。在宾词地位的词端可以是一个类，也可以是一个体。前者如‘海鸥是水鸟’中的‘水鸟’；后者如‘张居正是张江陵’中的‘张江陵’。”

“假如在宾位的词端是一形容词，那么怎么办呢？”王蕴理问。

“形容词是文法中的元素，它与逻辑不相干的。如果主宾词式的语句的宾位词端是一形容词，那么我们很容易把它变成类，我们把它看作类。前例‘海鸥是白的’中，‘白的’从文法观点看是一形容词，或说海鸥有白的属性，但从严格逻辑技术的观点看，‘白的’乃一类，即‘白的东西’或‘白的动物’之类，于是‘海鸥是白的’变成‘海鸥是白的动物’。这也就等于说‘海鸥之类被包含在白的动物之类之中’。当然，”老教授笑道，“这是逻辑呆子说话的口气。这样说话太笨，平常没有人这样说话的。不过，从逻辑的观点看，我们必须明了‘海鸥是白的’等于‘海鸥之类被包含在白的动物之类之中’。这样展布开，我们的思想才清楚。我们遇到宾位词端在文法上是一形容词时，一概可以这样处理的。”

“‘白的’是一种性质，我们怎么可以将其视作类呢？”王蕴理又问。

“从前的逻辑家以为性质与类不同。这种看法是受文法的影响，也受文法的限制。他们以为性质是内涵（intension），类是外范extension）。可是，至少从逻辑之现代技术观点而言，内涵是可以外范化（extensionalize）的。因之，一个性质可以决定一个类。这样在技术处理（manipulation）上方便。所以，表示性质的形容词是很不难看作类的。

“现在，我们要分析分析系词。联系二个词端的联系者叫作系词。在主宾词式的语句里，系词主要乃‘是’（is，are）字。因此，从前的逻辑家将这个‘是’字看得非常重要。固然，相对于主宾词式的语句而言，‘是’字的确重要；不过，在主宾词式的语句里，这个‘是’字的用法相当混含。‘是’字的用法很多。‘是’之不同的用法可以产生不同的推论关系。所以，对于‘是’之不同的用法，我们不可不弄清楚。”

老教授一面说着，一面弹弹烟灰：“第一种用法，‘是’字表示类的包含（class-inclusion）关系。‘海鸥是水鸟’这个语句之中的‘是’乃表示‘海鸥’之类被包含在‘水鸟’之类之中。第二种用法，‘是’字表示类的分子关系（class-membership）。‘艾森豪威尔是一个名将’这个语句中的‘是’字乃表示‘艾森豪威尔’乃‘名将’这个类中之一分子。第三种用法，‘是’字表示同一（identity）。‘张居正是张江陵’，这个语句中的‘是’字表示‘张居正’与‘张江陵’二个名称乃同一的个体。第四种用法，‘是’字表示相等（equivalence）。‘等角三角形是等边三角形’这个语句中的‘是’字表示‘等角三角形’等于‘等边三角形’。

“逻辑传统将主宾词式的语句看得非常重要。逻辑传统是以主宾词式为研究的中心的。过去的逻辑家，以及现在涉及传统逻辑的人，以为主宾词式的语句是根本的语句形式，而且一切其他形式的语句都可以化约而为以后所要提到的四种主宾词式的语句。因此，一直迟至十九世纪中叶，逻辑还局限于以研究主宾词式的逻辑为主的一个狭小范围里。不过，虽然如此，逻辑传统对于主宾词式的语句所作的逻辑研究，仍有些可取的地方，而且主宾词式的语句为我们日常言谈所用的语句形式。所以，对于主宾词式的语句之逻辑，我们也不可忽略。

“依逻辑传统，我们可以将主宾词式的语句分作四种：全谓肯定语句（universal affirmative sentence）、全谓否定语句（universal negative sentence）、偏谓肯定语句（particular affirmative sentence）、偏谓否定语句（particular negative sentence）。对于这四种语句，我们可以从二个方面来观察：一是形式的特质；二是形式的分量。肯定和否定是形式的性质。形式的性质以后简称‘性质’。全谓和偏谓是形式的分量。形式的分量以后简称‘分量’。

“‘凡属英雄都是好大喜功的’是全谓肯定语句。这个语句的意谓是，英雄之类被包含在好大喜功的人之类中。这也就是说，是英雄而不好大喜功的人之类是没有的。‘没有守财奴是慷慨好义的’是全谓否定语句。这个语句的意谓是说，凡守财奴之类都不在慷慨好义的人之类中。这也就是说，是守财奴而又慷慨好义的人之类是没有的。‘有些思想家是性情孤僻的’，这个语句是偏谓肯定语句。这个语句说，有些思想家之类是包含在有些性情孤僻的人之类之中。这也就是说，是思想家而又是性情孤僻的人之类不是没有的。‘有些诗人是不好饮酒的’这个语句是偏谓否定语句。这个语句的意谓是，有些诗人包含在不好饮酒的人之类中。这也就是说，是诗人而又不好饮酒之类不是没有。

“在这四种语句之中，我们最应注意的，是‘一切’‘有些’‘没有’等字样。这类的字样之作用，是表示形式的量化（formal quantification），所以叫作表形词字。所谓形式的量化，即语句中的一个词端指涉一个类的全部或一部分。一个语句具有表形词字，再加上系词，那么这个词句便是‘在逻辑形式中’了。

“为了便于处理起见，从前的逻辑家给予这四种语句以四种称号。全谓肯定语句叫作A，全谓否定语句叫作E，偏谓肯定语句叫作I，偏谓否定语句叫作O。A、I表示肯定语句，这是从拉丁字affirmo中抽出来的。E、O表示否定语句，这是从拉丁字nego中抽出来的。

“如果我们以S代表主位词端，以P代表宾位词端，那么这四种语句的形式可以陈示如下。”老教授一边说，一边在纸上写着：

A??

一切S是P

E??

没有S是P

I????

有些 S 是 P

O??

有些S不是P

“请各位特别注意呀！”老教授提高嗓音，“这四种语句形式中有一种情形与推论有直接的相干，它就是词端的普及与否，也就是前述形式的量化问题。如果词端所指涉的是一类的全部，那么这个词端是普及的（distributed）。如果词端所指涉的是一类的一部分或是未定的部分，那么这个词端是未普及的（undistributed）。我们现在可依这两个界说来看，在这四种语句形式之中哪些词端是普及的、哪些是未普及的。

“全谓肯定语句‘凡属英雄都是好大喜功的’中，‘英雄’显然是指所有的英雄而言，或指英雄之类之一切分子而言，所以是普及的。而‘好大喜功的人’则未普及，因为英雄只是好大喜功的人之一部分，古代暴君也有好大喜功的。‘英雄’之类只与‘好大喜功的人’之类之未定的部分发生关联。全谓否定语句‘没有守财奴是慷慨好义的’中，所有的守财奴都不是慷慨好义的人，守财奴之类之一切分子被排斥于慷慨好义的人之类。因此，‘守财奴’是普及的。同样，所有慷慨好义的人不是守财奴，慷慨好义的人之类之一切分子被排斥于守财奴之类以外。因此，‘慷慨好义的人’也是普及的。偏谓肯定语句‘有些思想家是性情孤僻的’中，‘思想家’为‘有些’这一形式词字所限制，显然没有普及。‘性情孤僻的人’也没有普及，因为‘思想家’之类只与‘性情孤僻的人’之类之未定部分发生联系。偏谓否定语句‘有些诗人是不好饮酒的’中，‘诗人’显然是未普及的；‘不好饮酒的人’则是普及的，因为‘有些诗人’被排斥于所有‘不好饮酒的人’之类以外。

“我们可将以上所说的四种语句之已普及和未普及的情形列个表来表示一下，便可一望而知了。我们现在拿一个圆圈代表已普及，拿一个半圈代表未普及，那么便可列表于下。”老教授写着：

“为了将来易于处理起见，这个表还可以简单化。我们现在假定语句的两端是不对称的，即○︶不等于︶○，而且︶○不等于○︶。在此有两种情形：一种情形是一端为○，另一端为︶；还有一种情形是一端为︶，另一端为○。而凡两端都用○或都用︶表示的语句，两端在记号上没有区别，所以我们可以不管。于是，我们可以将上表更简化一点。”吴先生又写着：

“其实，我们一看○︶，除了一目了然A之普及与否的情形以外，同时又知道了它就是A。因为○︶既不等于︶○，所以只能是A。其余三者皆然。因此，我们简直连A、E、I、O都可以不要，而径直写那四排记号就够了。”他又写着：

“词端普及与否的情形，与我们以后所要讨论的推论关系至大，所以我们必须弄个清楚明白。”

“吴先生，您在前面常常提到类。可是您似乎只假定了类，并没有讨论到它。是不是？”王蕴理提出这个问题。

“是的，我们在前面有好几次提到‘类’，直到现在为止，我们已假定了类，而对于类尚无所讨论。”

“您可不可以把有关‘类’的种种讲点给我们听呢？”周文璞问。

“我……正预备在这方面谈谈的。”老教授沉默了一会儿，接着说，“所谓的‘类’，并不是逻辑家的专利品。我们在日常生活里思想时，处理东西时，常常用到类。比如，体育教员要学生站队，叫男生站一边，女生站另一边，这就是有意或无意依据性别之不同而分类的。摆香烟摊的人常常把牌子相同的烟放在一起，把另一种牌子的烟放在另一处，这就是依着牌子之同异而分类的。其他类此之事，不胜枚举。在这些分类中所用的，都是类概念。……不过，在日常生活中，分类之运用类概念，多是出于直觉，而且所用的类概念相当简陋。这样应付日常生活及日常语言中的需要，也许还不致捉襟见肘。但是，碰到繁复的情况，用这样简陋的类概念就应付不了。逻辑家对于类的处理，那就精细多、复杂多了。”

“精细和复杂到什么程度呢？请问！”王蕴理问。

“哦！其精细和复杂的程度，不是凭常识所能想象的，也绝不是用日常的语言文字所能表达的。我只说一点，二位就能明了：现代逻辑是够复杂的学问了，而全部现代逻辑可由此类概念之展演为骨干来构成，而且许许多多现代逻辑家就是这么办的。结果，现代逻辑与数学中的组论（set theory）互相表里。……可是，”吴先生轻咳了一声，接着说，“这种问题过于专门，不是我们现阶段所能接近的，而且必须用构造精密的符号语言（symbolic language）才能表达出来。好在我们此刻也不需要知道这些。我们现在所需要知道的，是关于类的基本知识，以及基本的表示法。当然，熟悉了这些，我们就可循序渐进，由简入繁，由浅入深。

“从逻辑之符号的观点而言，类是一种逻辑构造。从构思的程序着想，类是我们安排事物的一种便利方式。只要头脑不太混乱的人，常常会把性质相同的东西安排在一起；或者，依照其他标准来分别事物之异同，是不是？由前面所说的，我们可以知道，一种性质决定一个类。例如，‘甜的’性质决定‘甜的东西’之类，‘香的’性质决定‘香的东西’之类，等等。因此，具有某种性质的分子，也就可以说是某个类之分子。例如，具有甜的性质的东西之分子，亦即甜的东西之类之分子，等等都是。

“我们在前面说过，‘海鸥’一词之所指，乃海鸥之类，等等。我们这样说，也许容易引起大家产生一个想法，以为所谓类就是分子之集合。如果我们这样想，那么就是把思想泥陷于常识之中，因而未免有时失之粗忽。因为一个类（class）并不仅仅是一堆分子之集合（collection）。一堆东西之集合，更不容易说是一个类。例如，把猪、孔雀、电灯和钢笔堆在一起，我们简直说不出这一堆是什么类。复次，吾人所经验到的大多数的类固然有分子，但是并非所有的类都有分子。例如，恐龙、独角兽、现在法国的王，等等，都无任何分子可言。

“我们现在可用符号来表示许多类，以及类与类之间的关系，小楷字母a、b、c各别用来表示任何类。相等记号‘=’表示一种关系。如果a=b，而且b=a，那么a和b二者是同一的。这也就是说，在此a的分子即b的分子，而且b的分子即a的分子。等边三角形的类之分子即等角三角形的类之分子。反之亦然。记号‘×’表示逻辑积（logical product）。a×b这个类为既是a又是b之类。记号‘＋’表示逻辑和（logical sum），a＋b为a或b之类。记号‘－’表示‘非’。a×－b意即，是a而又非b的类。记号‘○’表示没有分子的类，记号‘I’表示讨论界域（universe of discourse）。依此，我们可以表示一些不同的类。”而老教授在纸上慢慢画着、写着：

“可是，无论空类或全类都是独类（unique class）。”老教授说，所谓独类，意即没有两个与之相同的类。依此，没有两个空类，也没有两个全类。空类只有一个，全类也只有一个。”

“在实际上，有这样的类吗？”王蕴理问。

“有的。”老教授点点头，“地球就是独类。在一方面，地球自成一类。在另一方面，宇宙间没有两个行星叫作地球，所以它是独类……”老教授说到这里又写下去：

“吴先生，最后这四条，不就是您在上面已经说过的E、I、A、O四种语句吗？”王蕴理问。

“对了！对了！你看出来了！”老教授很高兴，“我在这里所写的最后四条，正是上述四种语句之逻辑代数学（algebra of logic）的表示。换句话说，我是用逻辑代数学的方式来表示E、I、A、O四种语句的。这种表现方式便于演算些。……除此以外，还有一种好处，即E与I是相反的，A与O也是相反的。这两对语句之相反，在符号方式上可以一目了然。是不是？”

“什么叫作逻辑代数学呢？吴先生！”周文璞问。

“这个……等我们以后有机会再说。……除了上述以逻辑代数学的方式表示类以及类与类之间的关系，我们还可以用图解方法来表示。现在我们可以试试。”老教授换了一张纸连写带画：

表示除a以外皆是非a。圆圈以内系a的范围，圆圈以外方形以内的范围系非a的范围。a与非a二者合共构成一个讨论界域。在此讨论界域以内，除了a便是非a，除了非a便是a。如以a代表任何东西，那么我们谈及任何东西，不能既不是a又不是非a。a或非a，二者必具其一。一棵树要么是活的，要么不是活的，总不能既活又不活。所以，a与非a既互相排斥，而又共同尽举可能。

“上面所画的，只限于一个类a。假定有a与b两个类，那么怎样画呢？”老教授提出这个问题，看了看他们两个，然后又画着：

“请注意呀！”他说，“在这个图解中，一共有两个类，而每一个类又有正反两面。二乘二等于四。于是，两个类共有四个范围。计有1. a(3)；2. ab；3. b(4)；4. -a-b。这也就是说：一、有是a而不是b的部分；二、有既是a而又是b的部分；三、有是b而不是a的部分；四、有既非a又非b的部分。”

“如果我们明白了这个构图，那么，就可以利用它来表示A、E、I和O四种语句了。”老教授又兴致勃勃地换了一张纸画着：

在这个图解中，是a而非b的部分被黑线涂去了，结果，凡 a皆 b。

在此图解中，既是a又是b的部分被涂去。结果，没有a是b。

既是a又是b的部分未被涂去。“×”表示“有”。即有些a是 b。

此图表示，是a而又不是b者并非没有。即有些a不是b。

“这种图解是逻辑家维恩（Venn）所用的，所以又叫作维恩图解。这种图解法的妙处，就是利用空间关系来表示类的关系，可使我们一目了然。……各位自己也可依样画葫芦吧！”