一、　隐函数的导数

我们常见的函数如y=sinx，y=x2+lnx等，函数关系直接由仅含自变量的算式表示，即y=f(x)，这种函数称为显函数.但是有时会遇到另一类函数，如x2－3y2=1，ey－xy+1=0等，两个变量的相互关联不一定是显现的，而是被制约在一个方程中，即F(x,y)=0，这种以方程形式确定的函数叫作隐函数.有些隐函数可以转化为显函数，但也有些隐函数不可以化为显函数，下面介绍隐函数的求导方法.

隐函数的求导方法如下：

第一步将方程F(x,y)=0两边分别对x求导，遇到y时，就视y为x的函数y=y(x)；遇到y的函数，就看成x的复合函数，其中y为中间变量.

第二步解出yx′即yx′=dydx.

例231求由方程ey－e2x+y=0确定的函数y=y(x)的导数dydx.

解方程两端同时对x求导，得eydydx－2e2x+dydx=0，解得dydx=2e2xey+1.

例232求曲线x2+y2+xy=4在点(2,－2)处的切线方程.

解方程两端同时对x求导，得2x+2yy′+y+xy′=0，整理得y′=－2x+yx+2y.

在点(2,－2)处的切线斜率为y′(2,－2)=1.

由直线方程点斜式，所求切线方程为y－(－2)=1·(x－2)，即y－x+4=0.

例233设y=xx(x0)，求y′.

分析通常形如y=u(x)v(x)的函数称为幂指函数，此类函数不能直接利用公式及运算法则求出导数.为了求这类函数的导数，可利用对数的性质化简，转化为隐函数形式，然后再应用隐函数的求导方法求出导数，这种方法称之为对数求导法.

解两边取对数，得lny=xlnx，上式两边同时对x求导，得1yy′=lnx+x·1x.所以y′=y(lnx+1)=xx(lnx+1).

此题也可用复合函数求导法则来求幂指函数的导数，解法如下:

因为y=xx=exlnx，所以有y′=(exlnx)′=exlnx(xlnx)′=xx(lnx+1).注

意对数求导法既可以求幂指函数y=u(x)v(x)的导数,还可以求由多个含变量的式子的乘、除、乘方、开方构成的函数的导数.例如：y=(x+2)3(2x－1)2x，y=3(x－1)(x－2)2(x－3)5，y=x(1+x2)arctanx等.

例234设y=(x+1)3(x+2)3－x，求y′.

解等式两边同时取对数，得lny=32ln(x+1)+12ln(x+2)－12ln(3－x).

上式两边同时对x求导，得y′y=32·1x+1+12·1x+2+1213－x，于是有y′=(x+1)3(x+2)3－x32(x+1)+12(x+2)+12(3－x).

二、　高阶导数

变速直线运动的质点的路程函数为s=s(t)，则速度v(t)=s′(t)=limΔt→0s(t+Δt)－s(t)Δt，加速度a(t)=limΔt→0ΔvΔt=limΔt→0v(t+Δt)－v(t)Δt，从而a(t)=v′(t)=s′(t)′.这种导数的导数s′(t)′叫作s对t的二阶导数，记作s″(t)，所以，直线运动的加速度就是路程函数s对时间t的二阶导数.一般地，可给出如下定义：

定义231如果函数f(x)的导数f′(x)在点x处可导，则称(f′(x))′为函数f(x)在点x处的二阶导数，记为：f″(x)，y″，d2ydx2或d2f(x)dx2，其中，f″(x)=limΔx→0f′(x+Δx)－f′(x)Δx.

类似地，二阶导数的导数称为三阶导数，记为：f??(x)，y??，d3ydx3或d3f(x)dx3.

一般地，对n－1阶导数求导数得到n阶导数，记为：f(n)(x)，y(n)，dnydxn或dnf(x)dxn.

由此可见，求高阶导数就是多次求导数.所以，仍可应用前面学过的求导方法来计算高阶导数.注

意（1）　二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.

（2）　f(x)称为零阶导数，f′(x)称为一阶导数.

（3）　n阶导数的表达式中，n必须用小括号括起来.例235求函数y=ln2x的二阶导数.

解y′=12x·2=1x，y″=1x′=－1x2.

例236求函数y=xe－x的二阶导数.

解y′=e－x+x·(－e－x)=e－x(1－x)，

y″=－e－x(1－x)+e－x·(－1)=e－x(x－2).

例237求函数y=sinx的n阶导数y(n).

解y′=cosx=sinx+π2，y″=cosx+π2=sinx+2·π2，

y??=cosx+2·π2=sinx+3·π2，y（4）　=cosx+3·π2=sinx+4·π2，…

依此类推，可以得到：（sinx）(n)=sinx+n·π2(n∈Z+).

用类似的方法，可得：(cosx)(n)=cosx+n·π2(n∈Z+).

一些常用的初等函数的n阶导数公式：

（1）　y=ex；y(n)=ex；

（2）　y=ax(a0,a≠1)；y(n)=ax(lna)n；

（3）　y=sinx；y(n)=sinx+nπ2；

（4）　y=cosx；y(n)=cosx+nπ2；

（5）　y=lnx；y(n)=(－1)n－1(n－1)!x－n.

习题2.3

1.　求由下列方程所确定的各隐函数y=y(x)的导数dydx：

（1）　x+sinxy=1；（2）　exy+y2=cosx；

（3）　xy=ex+y；（4）　arctanyx=lnx2+y2.

2.　求隐函数ysinx－cos(x－y)=0在点0,π2处的导数.

3.　求曲线xy+lny=1在点(1,1)处的切线方程.

4.　用对数求导法求下列函数的导数：

（1）　y=xsinx(x0);（2）　y=(x－1)(x－2)(2x－3)(x－4).

5.　求下列函数的二阶导数d2ydx2：

（1）　y=x2+lnx;（2）　y=(1+x2)arctanx.