第二节 数学、力学、光学(1 / 1)

一、数学

人们最早认识“数”,是从“有”开始的。从文明发展的初始阶段起,人们就不断地积累着事物数量的知识。人们认识的数目起初只能简单地区分“一”、“二”,以后在社会生产和社会实践中不断积累,掌握的数目才逐渐增多。据调查,新中国成立前有些文化发展比较缓慢的少数民族,数目最多只能数到“3”或“10”,再多就数不清了,这大体反映了各个民族文明初始阶段必然要经历的一段历程。

商周时期,数字的使用方法已经和现在没有多大的区别。那时已经用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万13个单字记10万以内的任何自然数,遵循的也是十进制。和现在不同的只是记数时在百位数、十位数和单位数之间常常加上“又”字,写成“六百又六十又九”。这种记数法含有明显的位值制意义,记数简单明了。英国的科技史专家李约瑟曾给予它很高的评价,指出“商代的数字系统是比古巴比伦和古埃及同一时代的字体更为先进、更为科学的”[3]。

商代已经有了奇数、偶数的概念,说明当时的人们已经有了比较系统的运算技能。神话传说伏羲时已发明了“规矩”——圆规和三角板,并说大禹治水时曾带着规矩去测量地形,这看来有些夸张,不过“规矩”在商周时大概已普遍应用了。当时造车、筑城等都要经过严密的测量,没有相关的测量工具和计算知识,这些都没法完成。

西周时期,“数”是士阶层受教育必修的“六艺”之一。据《周礼》等书记载,此时政府部门已有专门从事会计的“司会”、“法算”等,此外还有世代相传专门掌握历法和数学知识的“畴人”。“数”的内容包括算筹记数和简单的四则运算。算筹记数是以“筹”为主要计算工具的一种独特的计算方法。它产生于西周而成熟于春秋。筹,是一些小的竹木棍,用筹来表示单位数目,分为纵式和横式两种。它的记数方式,“一从十横,百立千僵,千十相望,万百相当”,举例来说,如果个位用纵式,十位用横式,百位又是纵式,千位又是横式……纵横相间,遇零空位,这样就可以摆出任意的自然数。用算筹来筹算,运算程序和珠算相近,它的加减运算也是从左边一位开始,其乘法则是把乘数、被乘数、积上中下排成三行,用乘法口诀(春秋战国时代,乘法口诀已经普遍推行,《管子》、《荀子》中已经提到了“九九表”)一一运算,最后把中位相加得出积。除法则是乘法的逆运算。

春秋战国时期的数学运算,已经达到较高的水平。上文我们举出的天文运算,古四分历的回归年和朔望月的长度都不是整数,运算十分复杂,没有较高的水平是难以完成此项研究的。成书于战国的《周礼》曾讲到贵族教育中有“九数”的内容,“九数”,三国刘徽注《九章算术》说:“九数之流则九章是矣。”据学者研究,成书于秦汉的数学专著《九章算术》中的“方田”、“粟米”、“衰分”、“少广”、“商功”等内容,绝大部分都形成于秦以前。“方田”是田亩面积的计算方法。内容涉及正方形、矩形、三角形、梯形、圆形、环形、弓形、截球体表面积的计算;“粟米”讲的是比例问题;“衰分”讲的是按等级分配物资或摊派税收的问题;“少广”讲的是开平方和开立方的问题;“商功”讲的是各种工程计算的问题。这么多复杂的研究内容,包括了现代初等数学中算术、代数、几何的相当一部分,说明我国先秦时期十进位值制的记数法和以筹为工具的各种运算已经接近形成完整的体系。这种记数法和运算法,与当时世界上一些文明发展较早的国家如古巴比伦、古埃及的记数法相比,要优越得多。因此,它的形成和发展,对世界科技是一个大贡献。

关于这一点,战国时期成书的《墨经》和《考工记》也可以作为辅证。《墨经》中关于几何学的论述较多,涉及点、线、面、方、圆等诸种几何概念。《墨经》对几何概念的解释一般都很准确,例如它对“平”(即平行)的解释:“平,同高也”,对“中”(半径)的解释:“同长也”,与西方《几何原理》(比《墨经》晚一个多世纪)中的有关定义如出一辙,因此有些数学史家怀疑古希腊数学家在创立几何学时曾受到中国古代数学的影响。《考工记》中有多种几何角度的称呼,如距(90°)、宣(45°)、柯(101°15′)、磬折(135°)等,这种详细复杂的几何学知识,在当时也是居于世界前列的,可以看作是世界应用数学的前驱。

二、力学

古代的力学知识和成就常常是和生产工具的制造、使用联系在一起的。

我国新石器时代遗址出土的石斧、石锛等,已经磨制得背厚刃薄,很符合尖劈越尖越省力的道理。仰韶文化遗址出土的汲水陶罐,腹大口小,系绳的耳环安在罐腹偏下的位置,汲水时水浅、水满重心位置发生变化,汲水倒水十分省力。西周时期的欹器的原理跟这种汲水罐差不多,“虚则欹,中则正,满则覆”,说明五六千年以前古人对物体重心的变化和作用已有了相当的认识。

成书于春秋末年的《考工记》,更多地反映出古代工匠对力学原理的认识。该书关于惯性知识的记载,“马力既竭,毂犹能一取焉”,是我国文献中惯性最早的记载。该书已意识到滚动速度和接触的面积大小有关,指出箭杆不均匀或箭羽设置不当会影响箭飞行的轨道、速度和稳定,提醒人们建造堤防、仓库要注意侧压力并根据经验列出堤防、仓库截面的形状及上下底的比例,这都是当时工匠创造经验的总结。

墨家的代表作《墨经》在力学研究上有不少建树。《墨经》在中国科技史上第一次提出了力的定义:“力,形之所以奋也”,说力是物体由静到动、由动到加快速度的原因,是人体所具有的使运动发生转移和变化的手段,这是相当准确的。它把自下而上将重物举起的过程作为“奋”的例子加以说明,“下举重,奋也”,这个说明也很实在贴切。

杠杆的使用在春秋战国时代已很普及,像人们日常使用的衡器(秤、天平)等都是利用杠杆原理制造的。《墨经》从科学的角度分析了杠杆平衡的有关问题,指出杠杆的平衡不但取决于两端的“重”(物体的重量)和“权”(秤锤),还与“本”(重臂)、“标”(力臂)的长短有关。“重”大于“权”而杠杆平衡时,“本”短“标”长;不平衡时,“长、重者下,轻、短者上”,这是有关力和力矩概念的定性总结。

《墨经》中还有不少关于斜面、滑轮的运动情况以及如何利用它们节省人力的记载,也观察到浮力原理等问题。如《墨经》说,同样的载重量,荷重物的形体小,在水中下沉得就多;形体大,下沉得就浅,形体大小与下沉深浅,其间存在着一定的均衡关系,这是有关浮力原理朴素的描述。

对于机械运动,《墨经》也注意到,只有当观察者与运动物体的位置移动情况不同时,人才能觉察出物体的运动,这就指出了运动的相对性。

《墨经》还研究了空间、时间以及时间、空间的关系。它以为,空间包含各个方向的一切地点,“宇,弥异所也”;时间是不同时刻的通称,“久(宙),弥异时也”。——宇宙包括所有不同的空间和时间。而物体的运动,必定要经过一定的时间和空间,而且随时都有特定的处所,“宇或(域)徙,说在长宇久(宙)”、“长宇,徙而有处,宇南宇北,在旦有(又)在莫(暮);宇徙久(宙)”。《墨经》以为,如果空间上由南向北,相应地时间上则由旦到暮,空间的变化和时间的流逝是紧密地联系在一起的。这是先秦时期我国对时空之间的辩证统一关系最精彩的论述。

三、光学

人类的光学知识是从对天然光学现象的认识开始的。

很早的时候,我们的祖先就知道借助“鉴”(盛水的盆)来照面,所以后来一直把用于照面的镜子称为“鉴”。真正的“鉴”是青铜器发明以后用青铜制造的,开始是平面镜,后来发展为凸面镜,因为古人发现直径较小的镜子必须做成凸面才能全纳人面,这其实是一个科学发现。周代已经发明了凹面镜——阳燧,这是用于聚光点火的工具。它的出现,标志着当时的人们对于光学的认识进了一步。

先秦时期,墨家曾通过实验,对平面镜、凸面镜、凹面镜成像的不同情况进行了综合的研究,这也是目前流传下来的文献中我们能见到的关于光学最早的研究。

墨家还对小孔成像、影子的生成等光学现象进行了实验和科学说明。

在一间黑暗的屋子朝阳的墙上开一个小孔,人对着小孔站在屋外,在阳光照射之下,屋里的墙上就出现一个倒立的人影。《墨经》说:“光之煦人若射。下者之人也高,高者之人也下。”它说光的传播是像箭一样直射进行,人的头部遮住上面的光,成影在下,人的脚部遮住下面的光,成影在上,于是就成了倒立的人影。倒像的大小和人离小孔的距离有关。这是墨家所作的著名的光学实验之一,也是世界上最早的小孔成像实验。

《墨经》对运动着的物体的影子动与不动的关系,也作了辩证的说明。它说,“景(影)不徙,说在改为”、“光至,景亡;若在,尽古息”,这段话说,在某一个特定的瞬间,运动物体的影子是不动的。影子看起来在移动,实际上是旧影不断消失,新影不断产生。《墨经》还对本影和半影的现象进行了解释。“景二,说在重”,“二光,夹;一光,一。光者,景也”。它说一个物体有两个影子,是因为它受到两个光源照射的缘故。两个光源照射一个物体,就有两个半影夹持着一个本影。一个光源照射物体,只有一个影子,光被挡住,就生成了影子。这些解释,深刻朴实,很有说服力。