每一演绎系统都划分一领域、一范围，或一界说。既有此情形，则必有达到此情形的工具。现在所要提出讨论的就是这种工具。

1. 演绎系统划分界说的工具。演绎系统划分界说的工具大略可以分为以下三项：a.保留的工具，b.淘汰的工具，c.推行的工具。兹特分别讨论。

a. 保留的工具。每一系统的原子就是那一系统所要对付的对象，每一系统的运算或关系就是运用那种对象的工具。有对象而无运用的工具，根本就不能有组织那对象的可能。有对象，有运用对象的工具，而无基本命题，则工具虽有，而运用工具的方法仍缺。基本命题的责任有时仅是一系统的大前提，有时兼是运用工具的法则。这两种不同的情形以后再讨论。无论如何基本命题总是一系统的前提。既是一系统的前提，则合于此前提的运用原子的方法，就是保留的标准。根据此保留的标准，原来的运用工具就变成了保留的工具。一演绎系统的支部都是要保留的部分。

b. 不合于基本命题的运用原子的方法就是淘汰的标准，而根据此标准，原来的运用工具就变成了淘汰的工具。可是在此处我们要注意以上曾经提及的一点，即一演绎支部的部分的大小，命题的多少，不是系统内的问题，那就是说，演绎支部虽都是一演绎系统所要保留的部分，而不必是一演绎系统所能保留的部分。有些部分虽可以保留而没有保留，所以我们不能说没有保留的部分都是要淘汰的部分，我们只能说要淘汰的部分都是不能保留的。这样一来有些部分既不必保留，也不必淘汰。这些“中立”部分有时有特别的情形是我们所应注意的。对于这一层，以后到相当时期再说。

c. 推行工具。以上保存的工具与淘汰的工具都包含推行的工具。可是推行的工具有时在系统范围之内，有时在系统范围之外，这要看基本命题是否仅是一系统的前提，或兼是那一系统的运用工具的法则。如果基本命题仅是前者，有些推行工具在系统范围之外；如果兼是后者，则所有推行工具均在系统范围之内。所谓推行的工具即以上所说的“自生”的工具，没有这种工具，一演绎系统的干部就不能“动”，那就是说，支部“生产”不出来，而系统就不成其为系统。

以上三种工具不过是分析出来的情形，事实上它们好像耕田的犁一样，犁一动，土就分，界限也就随之而出。但说到系统的界说，我们不能不说分析的话。逻辑系统的特别情形是由这样的分析才能比较地弄清楚。

2. 逻辑系统的界说。逻辑系统与其他演绎系统的分别不是原子的分别、运算的分别，或关系的分别。以上所举的一种系统通式可以解释成几何学、类学、命题学，或几何系统、类的系统、命题的系统。一演绎系统不因其原子为点线等等就不是逻辑系统，也不因其原子为类为命题就变成逻辑系统。逻辑系统可以说是没有特殊的原子，它的独有情形不在原子而在它的系统所要保留的“东西”，（此处用“东西”二字是因为我们不知道更便当的名词）。为表示逻辑系统之所以为逻辑系统起见，我们请注意以下诸点：

a. “可能”二字不易解释，假设我们知道它的意义。每一件事实是一个可能，可是每一个可能不必是一件事实。演绎系统既如A段所述不必牵扯到真假问题，当然也就不必限于一件一件的事实，或表示一大堆事实的自然律或普遍命题。它所包含的总有一部分是可能的研究，或者总有一方面可以视为可能的研究。有些系统可以视为可能的分类，可能的分类也不限于一可能，最便当的或者是把可能分为两类。但如果我们不怕麻烦，我们也可以把它分为三类或四类。简单地说我们可把它分为“n”类。

b. 把可能分为“n”类之后有两种很重要的性质发生：一为承认所有的可能，一为否认所有的可能。如果一个演绎系统是一个分可能为“n”类的系统，则在那一系统范围之内，列举“n”可能中各可能而分别承认之，是那一系统所无法逃避的情形。这情形我们以“必然”二字形容之。设一系统把可能分为两类，分别承认此两种可能的命题在那一系统范围之内为必然的命题。设另一系统把可能分为三类，分别承认此三类的命题在第二系统范围之内为必然的命题。我们可以说在分可能为“n”类的系统范围之内，分别承认“n”可能的命题为那一系统的必然的命题。

c. 以上是分别承认所有的可能，还有否认所有可能的情形。如果一个演绎系统是分可能为“n”类的系统，则在那一系统范围之内，列举“n”可能中之各可能而均否认之，是那一系统所不能承认其为可能的情形。这情形我们以不可能或“矛盾”一字形容之。设一系统把可能分为两类，否认此两类可能的命题为矛盾的命题。设另一系统把可能分为三类，则否认此三类可能的命题在第二系统范围之内为矛盾的命题。由此类推，在一分可能为“n”类的系统，否认此“n”可能的命题为那一系统的矛盾命题。

3. 逻辑系统的特点如下：

a. 逻辑系统有保留的标准、保留的工具与所要保留的情形。逻辑系统之所以为逻辑系统者，其特点照许多人分析，就在它所要保留者，是必然的情形。必然的情形是相对的抑或是绝对的颇不易说。这个问题还是一般人继续在那里打笔墨官司的问题。我们在此处不讨论这个问题，我们假设表示必然的方式是相对的。所谓相对者是说可能的分法不止一种，各种分法有表示必然的方法。但无论如何在一种系统范围之内，只有一种必然，只能有一种必然。从命题方面着想——系统总可以当作一大堆相关联的命题看待——如果一系统所要保留的都是那一系统的必然的命题，则那一系统是一逻辑系统。此处说“要保留”而不说“保留”者，因为逻辑系统所保留者在事实上，至少在事实上，或者还没有做到都是必然命题的地步。

b. 逻辑系统有淘汰的标准、淘汰的工具与所要淘汰的情形。这所要淘汰的情形就是以上所说的矛盾的情形。从命题方面说，所要淘汰的是矛盾的“命题”。

c. 保留与淘汰可以说是同时并进。既云并进，就表示有推行的工具。逻辑系统的推行的工具有所谓“蕴涵”，有“同”有“等”有“代替”。这些工具也可以说是与系统相对的。“同”与“等”或者有超过一特殊系统范围之外的意义，这一点我们现在不必讨论。现在所要注意的就是逻辑系统所要保留的既是必然的命题，推行的工具就是把各种形式不同的必然的命题保留起来，加以组织，使它们成一系统。

以后关于必然、关于矛盾、关于蕴涵等等都要分别讨论，此处不赘。逻辑系统的特点既如以上所述，也就免不了有牵连出来的情形。照以上所说，逻辑系统的特点就是“必然”，而此“必然”的形式问题与实质问题有应特别注意的情形，我们似应分别讨论如下。

4. 必然之形式。此处“形式”二字的意义与普通的不同，它们所指的是我们用以表示必然的工具的形式。此处说“必然之形式”而不说“必然的形式”者，是因为我们所要提出的是“form of tautology”而不是“tautological form”，必然之形式是相对的。以上我们曾经说过，我们假设必然的表示是相对的，那时候我们没有把形式与实质分别讨论。现在我们要分别讨论，分别之后，我们所要表示的必然之形式是相对的。

a. 照以上所述：二分法的系统把可能分为二类，三分法的系统把可能分为三类，“n”分法的系统把可能分为“n”类。承认二分法系统中两可能的命题为二分法系统中的必然命题，承认三分法系统中的三可能的命题为三分法系统中的必然命题，承认“n”分法系统中的“n”可能的命题为“n”分法系统中的必然命题。这些不同系统中的必然命题都不同。事实上现在有三分法的系统。

b. 每一系统有它的基本概念与基本命题，那也就是说，每一系统有它的出发点，每一系统的出发点是否为必然的出发点呢？必然不是原子，不是运算，也不是一种简单的关系；如果它是关系的时候，它是根据系统所认为合法的联合方法而组织起来的复杂关系。那么，基本概念无所谓必然。基本命题是否是必然的命题？这问题不容易得一答案。但我们可以假设一系统的基本命题也都是那一系统的必然命题，进一步问那一系统的出发点是否也就因此成为必然的出发点，还是不能。出发点的形式不仅靠基本命题，也靠基本概念，而基本概念无所谓必然。

c. 现在的问题是基本概念是一系统范围之内的思想呢，还是一系统范围之外的思想呢？我们可以把基本概念当作解释系统的思想，如果它们是解释系统的思想，它们可以是系统范围之外的思想。但我们也可以把它们当作一系统的原质，如果它们是系统的原质，它们也就是系统范围之内的思想。至少从P. M.的系统看来，后说近似。但无论如何，即令所有的基本命题都是一系统的必然命题，即令必然命题之所以为必然与基本概念无涉，而所以表示那一必然的工具仍是靠基本概念。基本概念既无所谓必然，表示必然命题的工具——此处的工具不是符号——也就不是必然的。那就是说必然之形式是相对的。

以上a条所说的或者是偶然的情形，我们不能以之为以上结论的前提。但如果b、c两条的话靠得住，则即令把事实上所有的系统都联络起来成一整个的系统，而那一整个的系统的形式仍不是必然的形式。无论一必然之系统是否同时就是一必然的系统，我们至少总可以说一系统的形式不是必然的。

5. 必然之实质。上面所说的形式是表现的形式，此处的实质是形式所表现的实质。形式与实质两字，或者容易发生误会。我们可以利用C. Peirce的字眼，说上面的形式是“token”，此处的实质是“type”。如果美金一元是一个“type”，在我的经验中，这个“type”至少就有两个“token”，一为“美金一元”的钱票，一为“美金一元”的银元。利用比方总不免有毛病，但如果利用比方可以间接地使我们领会到此处形式与实质的分别，我们也就不必十分注意其流弊。

必然之实质与必然之形式问题不同。以下诸点似应特别注意：

a. 必然之形式虽不必然，而必然之实质是必然。这命题的后面这一部分就等于表示同一律。同一律既不能否认，从这一方面着想. 必然之实质不能不是必然。我们要注意，在文字上，“必然之形式”与“必然之实质”虽有同样的形式，而前者不等于“必然形式”，后者等于“必然实质”。那就是说无论必然之形式如何，必然之实质则一。因其有此实质，所以不同的逻辑系统都是逻辑系统；也因其有此实质，所以也有以下应特别注意的情形。

b. 无论必然的形式如何，一必然命题总是普遍的。这里的普遍，与自然律及其他真的普遍命题的普遍不同。后一种命题是可以假而适无往而不真的普遍命题，必然的命题根本就不能假。因其不能假，其所以真者也与其他命题的真不同。它不形容事实，而范畴事实，事实无论如何地变，总逃不出一必然命题的圈子。一逻辑系统既为必然之系统，则无论事实如何，它总可以引用。

c. 必然命题，不仅能普遍地引用于任何事实，而且也是推论的普遍公式。这一层似乎是近代新逻辑学的发现。此处的推论不是归纳方面由相当证据而得到相当结果的推论，它是由前提而得到结论的推论。这一种推论都有它们的普遍公式，而各种不同的推论公式，在一逻辑系统范围之内，都可以用必然命题表示之。所谓逻辑系统者无非是把各种不同的推论公式条理之、组织之，定其系统方面之先后，而以必然命题表示之。既然如此，一逻辑系统不仅能普遍地引用于事实，而且也是一普遍的对与不对的标准。

d. 照以上第3条的说法，逻辑系统所保留者既为必然命题，而所淘汰者既为矛盾，则有许许多多的命题，既不是一逻辑系统所要保留，也不是一逻辑系统所要淘汰。这些命题可以说既不在一逻辑系统范围之外，也不在一逻辑系统范围之内。承认与否认它们的标准不是逻辑，而是观察、实验、试验，等等。各种科学中的命题都在这个范围之内。但这些命题的关系虽不必为必然，也不能为矛盾。若为矛盾则必为逻辑所淘汰。一命题与真命题一致者虽不必真，而与真命题不对者必假；逻辑既为普遍的对与不对的标准，当然也是一范畴各种科学的普遍工具。

e. 本条所说的话，都是从必然之实质方面着想而不是从必然之形式方面着想，是从逻辑系统的实质方面着想而不是从逻辑系统的形式方面着想。每一逻辑系统都是逻辑之所能有的一种形式，所以每一逻辑系统都代表逻辑，可是逻辑不必为任何一系统所代表。逻辑系统是一种形式，虽然是必然之系统，而本身不是必然的。逻辑的实质就是必然，必然既不能不是必然，逻辑也不能没有它的实质。我们在本条所注意的既然为实质，所谈的问题就是逻辑；但以下又回到逻辑系统的问题，所以在下节我们还要谈逻辑系统。