（这命题说：如果一命题p是真的蕴涵它自己是假的，则它是假的。右角的号数是原书中此命题的号数。）

（这命题说：任何命题蕴涵一真命题。请注意此处的蕴涵是所谓真值蕴涵。此点在第四部会提出讨论。）

（这命题说：如果P是真的蕴涵q是假的，则q是真的蕴涵P是假的。前一部分为一假言命题，如果P真则q假；后一部分亦为一假言命题，但对于前一部分等于说否认前一部分的后件，亦即否认前一部分的前件。）

（这命题说：如果在P真条件之下，q蕴涵r；则在q真条件之下，P蕴涵r。在真值蕴涵的情形之下，前后两部分的p、q可以更换位置。参见G. Moore，Philosophical Studies一书中关于外在关系的讨论。）

（此处最后一行括弧内的数目表示（1）（2）皆真，（2）既为（1）之前件，则根据（1.1）（1）之后件亦真，而（1）之后件即为所欲证明之命题。以上2.05，2.06，在P. M. 称为三段论原则。以后的“Bardara”三段论即由它们推出。）

（此为同一原则。在P. M. 中同一原则与同一律不同。本书不讨论这一点。）

（在此证明中请注意以下诸点：设以为p1，以为p3，为p4；以上（3）行表示p1蕴涵p2，（4）行表示p2蕴涵p3，（6）行表示p3蕴涵p4。最后证明的命题为p1蕴涵p4。为使推论的层次严谨起见，此证明利用2.05所表示的三段论原则，证明p1既蕴涵p2，p2既蕴涵p3，（8）行表示p1蕴涵p2蕴涵p1蕴涵p3，（9）行的结论是p1蕴涵p3，（10）行的推论是P3蕴涵P4蕴涵P1蕴涵P3蕴涵P1蕴涵P4，而此最后即为所要证明的命题。

此证明中有连锁推论；若从简便，由（3）（4）（6）已可以得P1蕴涵P4的结论。

同时如果利用“ ”的定义，则第四基本命题即为此处所要证明的命题。）

（以上2.14、2.15、2.16与2.03那一命题相似，属于一类。它们都是表示否认后件亦即否认前件。至于前件与后件单独地究竟为真为假与它们当然无关。在P. M. 中这四个命题称为principles of transportation。）

（2.17与2.01成一对。2.01说：如果P是真的蕴涵P是假的，则P是假的；2.17说：如果P是假的蕴涵P是真的，则P是真的。这里前后两部分仅说是“真”或是“假”，但“则”字后之“真”，可以有必然的意义，“则”字后之“假”，同时也可以有不可能的意义。）

（此命题与2.02成对，均为真值蕴涵的特别情形。2.02说：任何一真命题被任何命题蕴涵；2.19说：一假命题蕴涵任何命题；这一点在第四部还要提及。）

（此证与原书中的证明不同。因为我们抛开了好些命题，我们不能用原来的证明。可是，一个证明用不着这样长，读者可想方法求短的简单的证明。此后有好些证明都不是原书中的证明，但本书没有特别表示它们不是。）

（此命题说：如果p不蕴涵q，则q蕴涵p。如果所谓独立的命题是彼此没有蕴涵关系的命题，则本系统的命题没有独立的。）

（这命题说：如果p是真的，则q是真的蕴涵p与q都是真的。这命题可以是一种推论的方式，至少在本系统范围之内，我们可以利用它把两个分别断定的真命题，合起来断定其为真。例如2.28与2.29可以使我们得“├：p·q·≡·～（～p ～q）”的结论。）

［（2）·（6）·1.1］├：～（p·～ p）

（此为“矛盾律”：“P是真的又是假的是假的。”我们以“与”的思想表示矛盾律，以“或”的思想表示排中律；“或”的思想出现在前，所以排中律先矛盾律而出现。这不过是说在本系统的成文秩序中，排中律在前，矛盾律在后，这与它们彼此的重要问题没有关系。

在此证明中，我们利用排中律去证明矛盾律，这当然纯是根据于成文的先后；设成文的先后反转过来，我们也可以利用矛盾律去证明排中律。）

（此两命题均为三段论原则之另两种表示，以后亦利用之以为推论。这两个命题与传统的三段论比之2.05、2.06更为切近，2.40使人想到“barbara”。情形当然不同，因为这里的p、q、r，不必是传统三段论中的A、E、I、O那样的命题。）

（此命题说：如果p是真的，而p蕴涵q也是真的，则q是真的。

请注意在此证明中，由（5）（6）而得（7）的结论，其推论与2.41这一命题相似；我们可以把它写成：

不同之点如下：

（一）在证明中的推论，（5）与（6）两前件本系统均断定其为真，而在2.41这一命题中，p与p　q两前件，我们仅假设其为真，究竟为真与否，无从说起；2.41所断定的是整个的命题，而不是前面那一部分。

（二）在证明中的是推论，是inference。而在这命题中的是蕴涵，是implication。推论说得通的时候，定有蕴涵关系；但有蕴涵关系的时候，不必有推论。在证明中，我们可以说（5）是真的，（6）是真的，“所以”（7）是真的；2.41这一命题虽是真的，而我们既不能说前件是真的，我们也不能说“所以”后件是真的。

（三）证明中的推论的根据是1.1那一基本命题，由此可以知道1.1与2.41为不同的命题。）

（此命题所表示的可以用所谓anti-syllogism为例。设有以下甲乙两组的命题，以普通的三段论的形式表示之，2.42说甲组蕴涵乙组。

请注意以上的例有很不妥当的地方；2.42这一命题没有断定p、q、r之为真为假；用普通语言表示，它不过是说如果甲组是对的，乙组也是对的。）

（此命题与第六基本命题成对，第六基本命题表示“或”方面的关系，而此命题表示“与”方面的关系。）

（以上2.54、2.55、2.56，三命题表示命题的真假值相等有自反质（self-reflexive）、对称质（symmetrical）、传递质（transitive）。蕴涵仅有自反与传递质。）