真正的哲学是写在那本经常在我们眼前打开的最宏大的书里面的，这本书就是宇宙，就是自然界本身。人们要想读懂这本书，首先就要理解书写它的语言、解读其中的字符。书写自然这本书的语言就是数学。

数学语言在表述物理法则时表现出的恰当性就是一个奇迹，是一个我们既未能真正理解，也受之有愧的奇妙天赐。

——尤金·维格纳(Eugene Wigner)

纯粹数学，就其本质而言，是逻辑思想的诗篇。

——阿尔伯特·爱因斯坦(Albert Einstein)

我希望我所讲述的这些故事已经描绘了科学所拥有的核心魔力——能够预测事物存在的能力。只要人们去寻找，这些事物就会在现实世界中出现。这种能力如此神奇，就连科学界的大咖也很难相信。如前文所述，史蒂文·温伯格在他的《最初三分钟：关于宇宙起源的现代观点》一书中思考了这个问题：为什么物理学家很难相信从自己的理论中得出的预测。[176]令他困惑不解的是关于宇宙的诞生，为什么人们忽视了1948年对大爆炸余晖所做出的预测，为什么1965年宇宙背景辐射(cosmic background radiation)的发现出于偶然？“问题并不是因为我们太重视自己的理论，”温伯格总结道，“而是因为我们重视得还不够。”

我们很容易明白为什么物理学家很难相信他们自己的理论。毕竟，涂写在黑板或白板上的神秘数学公式怎么可能与现实世界中的真实事物有任何关联呢？宇宙中的东西怎么可能有一个数学孪生兄弟，在这里尽心尽力地模拟它呢？

即使对于身处17世纪的伽利略来说，这个非凡的事实也是显而易见的：“真正的哲学是写在那本经常在我们眼前打开的最宏大的书里面的，这本书就是宇宙，就是自然界本身。人们要想读懂这本书，首先就要理解书写它的语言、解读其中的字符。书写自然这本书的语言就是数学，其中的字符就是三角形、圆形以及其他几何图形。没有这些字符，人类就不可能理解自然这本书；没有这些字符，人类就会在黑暗的迷宫中徘徊。”[177]

艾萨克·牛顿生于伽利略去世的那一年，运用精确的数学公式成功地表述了运动定律和万有引力定律。在这之后的岁月里，数学在描述更大范围的物理现实方面取得了越来越多的成功。19世纪麦克斯韦的电磁学方程、20世纪的量子理论方程以及爱因斯坦的广义相对论都是成功运用数学的极好例证。

毫无疑问，数学与实体宇宙之间存在深层联系的最有力的例证就是狄拉克方程。方程对电子的描述统一了量子理论和爱因斯坦的狭义相对论，尽管这纯粹是出于数学上的一致性而凭空想象出来的，但狄拉克方程不仅预测了量子自旋的存在，而且预测了反物质宇宙的存在。狄拉克和其他人一样对这种联系感到惊讶，他推测：“上帝用美妙的数学创造了世界。”[178]

在20世纪30年代，尤金·维格纳(Eugene Wigner)撰写了一篇著名的论文，题目为《数学在自然科学中不合理的有效性》(The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences)。他写道：“数学在自然科学中的巨大作用近于神秘，并且找不到合理的解释。”[179]

爱因斯坦应和了维格纳的想法。“怎么可能呢？”爱因斯坦问道：“毕竟数学是人类思想的产物，独立于经验之外，怎么能与现实的对象如此拟合呢？”[180]他还说过一句名言：“世界上最不可思议的事情就是这个世界是可理解的。”他所说的“可理解的”是指数学上的可理解性。

“我们的工作是一场令人愉快的游戏，”因提出物质的终极构件——夸克——的存在而获得诺贝尔奖的默里·盖尔曼说，“我常常惊讶地发现，计算结果往往是对实验结果的正确预测。写下一些简洁而优雅的公式，就像那些被严格规则约束的短诗，比如十四行诗或日本和歌，怎么就能预测自然的普遍规律呢？”[181]

那么，为什么数学在自然科学中如此不合理地有效呢？为什么宇宙是数学的？首先要说的是，并非所有人都相信这些问题是成立的。符号操作程序软件Mathematica的创造者、亿万富翁斯蒂芬·沃尔夫勒姆(Stephen Wolfram)认为，宇宙不是数学的，只是看起来像数学的。

沃尔夫勒姆指出，宇宙中发生的大多数事情，比如大气中的湍流和生物体，都太复杂了，无法用数学物理方法加以概括。大多数物理学家会争辩说：“这是因为目前缺乏足够复杂的数学工具，不能解释只是暂时的，总有一天我们能获得这样的工具。”沃尔夫勒姆表示不敢苟同。他认为，人类无法用数学来描述湍流和生物体这样复杂现象的原因是这些东西本来就是不能用数学描述的。

根据沃尔夫勒姆的说法，现在我们所处的状况就像是醉汉半夜在街上寻找丢失的车钥匙。醉汉只能看到街灯下有光亮的地方，没有别的原因，因为那是他唯一能看到的地方。同样地，沃尔夫勒姆声称，我们用数学来描述宇宙中唯一可以用数学描述的部分。

20世纪，英国的数学家、哲学家伯特兰·罗素(Bertrand Russell)的意见与沃尔夫勒姆的观点不谋而合。“物理是数学的，”他说，“不是因为我们对物理世界知道得太多，而是因为我们知道得太少。我们只能发现物理的数学性质。”美国物理学家珀西·布里奇曼(Percy Bridgman)也说了类似的话：“数学是人类的发明，这是不言而喻的事实，稍加观察就会明白这一点。”[182]亚瑟·斯坦利·爱丁顿是这样说的：“在我们达成共识之前，数学是不存在的。”

正如沃尔夫勒姆所说，毫无疑问，宇宙即便不是基于数学的，它的所作所为也绝不是随机的，而是存在某种规律性，存在比数学方程更基本的规则。它们就类似计算机程序，沃尔夫勒姆认为，正是这些程序在编排我们在宇宙中看到的一切。这些程序是递归的，意味着它们会把输出作为输入，不断地反馈回来成为新的输入，就像贪吃蛇那样。在20世纪80年代早期，沃尔夫勒姆曾在第一代个人电脑上尝试过这种简单的程序，并发现这些程序有时会产生无限的复杂性和创造性。这个发现如此惊人，他想知道这是否可能就是大自然如何创造玫瑰、新生婴儿或星系的秘密。

通常获得此类程序结果的唯一方法是先运行程序，然后看到结果。根据沃尔夫勒姆的说法，宇宙中发生的大部分事情都是如此，他称之为计算不可化归的(computationally irreducible)程序。但是，对于程序的一个小子集，可以在运行之前就发现其结果。沃尔夫勒姆把这些程序称为计算可化归的(computationally reducible)程序。能够预测其结果的特殊捷径就是数学物理方法。

大多数物理学家不同意沃尔夫勒姆的观点，认为宇宙确实是数学的。所以问题仍然是：为什么数学在自然科学中如此有效？为什么科学的核心魔力会起作用？这些年来，有很多人试图回答这些问题。瑞典裔美国物理学家马克斯·泰格马克(Max Tegmark)的回答因为涉及多重宇宙，格外引人注目。

近年来，来自多方面的证据表明，宇宙并不是唯一的。例如，宇宙诞生于138.2亿年前，这一事实意味着我们只能看到那些光到达地球所用时间不到138.2亿年的星系。因此，可观测的宇宙被像肥皂泡薄膜一样的视界所限制，位于视界之外的那些星系，它们的光还没有到达这里。换句话说，还有其他的宇宙(可能有无数个，就像我们的可观测宇宙)，有着不同的恒星和星系。这些宇宙的集合被称为多元宇宙(multiverse)。

除了这种微不足道的多元宇宙，物理学家有理由相信可能还有其他拥有不同维度、不同物理定律等诸如此类的宇宙。还没有人知道这些多元思想是否相融，这是一种新兴的范式。

泰格马克将此想法归结为一个符合逻辑的结论，并暗示可能存在宇宙的终极合奏(ultimate ensemble)，所有的数学都能找到对应其逻辑的宇宙。例如，有仅包含平面空间(或称为欧几里得几何)的宇宙，还有仅包含算术的宇宙，诸如此类。在大多数这样的宇宙中什么都没有发生，因为规则太简单了，无法创造出任何复杂的东西。只有在数学像万有理论一样复杂的宇宙中，才有可能出现复杂的事物，例如恒星、行星和生命。根据人择原理的颠倒逻辑，我们发现，自己置身于当前宇宙中的原因是，在任何更简单的宇宙中，我们都不会出现，从而注意到这一事实。

泰格马克声称，数学在物理科学中不合理地有效，原因很简单：因为数学就是物理学。他说：“成功的理论不是用数学估计物理现象，而是用数学估计数学。”[183]海因里希·赫兹在150年前也有过类似的想法：“人们不得不认为，这些数学公式是独立存在的，有自己的智慧，比我们更有智慧，甚至比发现它们的人更有智慧。”

许多物理学家争辩，存在一个包含无穷多个宇宙的多元宇宙，其中大多数宇宙完全无趣。证明维格纳所说的数学有效性要付出高昂的代价，但很多人会坦然接受不需证明，相信出于某种神秘的原因，宇宙似乎是一种潜在数学结构的体现。科学作家格雷姆·法米罗(Graham Farmelo)在他的书《宇宙以数字说话》(The Universe Speaks in Numbers)中概述了有力的证据。法米罗说，不仅数学为物理学提供了深刻的见解，而且物理学也为数学提供了启示，二者是相互作用、相互影响的。这方面最突出的例子是弦理论。该理论认为，物质的基本构件不是像点一样的粒子，而是在十维时空中振动的质能弦。虽然这个理论还没有为物理学做出任何可测试的预测，但已经为纯数学的探索打开了全新的视角。

泰格马克和沃尔夫勒姆对数学不合理有效性的解释并不是唯一的。已故的美国物理学家维克多·斯坦格(Victor Stenger)喜欢说，我们发现的物理学实际上只不过是虚无的物理学。

1918年，埃米·诺特(Emmy Noether)证明，伟大的物理学守恒定律仅仅是深度对称性的结果。例如，表述为能量既不能被创造，也不能被毁灭的能量守恒定律，本质上是时间平移对称性(time-translation symmetry)的结果，表明实验的结果并不取决于实验的时间。动量守恒定律则是空间平移对称的结果，体现了实验结果并不取决于实验在空间中的位置，无论实验是在伦敦，还是在纽约进行，实验结果都应该一样。“如果数学是自然的语言，那么对称性就是这种语言的语法。”吉安·弗朗西斯科·朱迪斯(Gian Francesco Giudice)说。[184]斯坦格指出，这些对称性的惊人之处在于，它们也是一个完全空无一物的宇宙的对称性。毕竟，在没有特征的空间里，每一段时间都和其他时间完全一样，每一个位置也和其他位置完全一样。

除了这种全局对称性外，我们的宇宙还保持着局部对称性。正如前面所解释的，自然基本力的存在只是为了确保这种局部的规范不变性在空间和时间的任何地方都得到执行。[185]这些局部的对称性就像宇宙的全局对称性一样，也是空无一物的空间的对称性。

当然，除了那些仅体现深层对称性的基本定律，还有其他一些自然的基本定律。然而，英国化学家彼得·阿特金斯(Peter Atkins)指出，这些定律也同样源于虚无，或者至少它们并不像人们第一眼看上去的那样。

以众所周知的折射定律为例。该定律规定了光穿过玻璃等介质的路径。事实证明，还有另外一种完全等效的方法来确定光所走的轨迹：光沿着所用时间最短的路径运动。稍加思索，我们便可知道，光可能做到这一点的唯一方法就是尝试通过所有可能的路径(例如，一块玻璃)来确定最快的路径。看起来很疯狂，但光就是这样做的。

最重要的是，不要忘了光是波。现在，假设穿过一块玻璃的光在尝试通过A点和B点之间所有可能的路径。因为光的波长很小，所以，沿着相邻路径传播的光，彼此之间在波峰和波谷的位置方面会有很大的差别。事实上，对于每条路径都存在着一条相邻的路径，使得两束光的波峰、波谷相重合。因此，它们相互抵消。唯一不受这种相消干涉的路径是最短时间路径。

从某种意义上说，真正的折射定律就是没有定律。光沿着所有可能的路径传播，被动的干涉现象剔除了除最短路径之外的所有路径。根据阿特金斯的观点，自然的折射定律不过是懒惰的或好逸恶劳的定律。

光所经过的路径似乎没有更多的意义，但实际上是有的。原因是在量子理论(对原子及其构成成分的微观世界的最好描述)中，物质的构造块的行为由波函数来描述。根据薛定谔方程，波函数遍布整个空间，并且在波动强烈或振幅大的地方找到粒子(比如电子)的概率高，而在波动弱的地方找到粒子的概率低。

在理查德·费曼提出的对量子理论多重历史的诠释中，在A点和B点之间移动的粒子会尝试所有可能的路径。就像在光的例子中，干涉选择了单一路径。这不是花费时间最少的方法，而是付出作用量(action)[1]最少的方法，但原则是一样的。就像光折射的例子一样，自然定律只不过是懒惰的定律。

因此，不仅如斯坦格所说，许多物理学定律与虚无定律相同，而且如阿特金斯所说，剩下的那些定律也是虚无或者懒惰的产物。阿特金斯说：“虚无是最卓有成效的东西。在虚无无限的边界之内潜藏着一切，但它只是潜伏着，完全未变成实现。”[186]

即使我们生活在一个定律与空虚的宇宙相同的宇宙中，仍然存在一个棘手的问题：为什么我们确实生活在一个混乱的宇宙中，而不是生活在一个虚空的宇宙中？答案当然是，没人知道。

至于科学的核心魔力，我们在理解方面取得了哪些进展呢？回顾保罗·穆丁和露易丝·韦伯斯特发现天鹅座X-1的事，也就是1971年银河系中的那个第一个候选黑洞，这种实体的存在是由卡尔·史瓦西在1916年预测的。当时，史瓦西在东部前线，死于一种自身免疫系统疾病，皮肤上覆盖着顽固的、令人痛苦的水疱。和所有其他证实科学预测的科学家一样，穆丁对自己的发现也很惊讶。“令人惊讶的是，黑洞竟然是真实的物体。”穆丁说，“真是令人难以置信，它们竟然存在!”事实上，物理学家们对数学不合理的有效性和不可思议的科学预测能力充满疑惑，就像奥本·勒维耶那个时代一样。核心魔力一如既往地令人感到惊奇，也令人感到费解。

全书完

[1]在物理学中，作用量是指包含粒子的势能和动能的量。