首先，我们来深入研究一下明斯基和帕普特强调的感知器模型的问题。单层感知器无法实现一个很简单的运算，被称为“异或”(XOR)。我们先假设一个有两个输入的单层感知器，如下所示：

图22　单层感知器，无法计算异或

而异或函数是这样的：如果输入1激活，或者输入2激活，则触发感知器输出。而输入1和输入2同时激活或者同时不激活，都不触发输出。要理解为什么单层感知器无法计算异或函数，首先，我们假设它可以计算，那么，对于输入1的权重值w1，输入2的权重值w2，以及感知器的触发阈值T，它们必须满足如下要求：

·如果两个输入均未被激活，则神经元接收到的输入权重为0，此时神经元要保持不被触发，因此触发阈值T必须大于0。

·如果只有输入1被激活，则感知器被触发，因此w1必须大于触发阈值T。

·如果只有输入2被激活，则感知器被触发，因此w2必须大于触发阈值T。

·如果输入1和输入2都被激活，则感知器不会被触发，因此w1 + w2的值必须小于触发阈值T。

但很容易就能看出，满足上述所有要求的w1、w2和T值不存在，因此，感知器无法计算异或函数。

现在让我们看看两层感知器结构如何计算异或函数，如图23所示。我可以肯定地说，这个感知器网络能够正确计算异或函数。它由三个神经元组成：当输入1或者输入2被激活时，神经元1会被触发；当输入1和输入2没有同时被激活，神经元2才会被触发；最后，如果神经元1和神经元2都被触发，神经元3才会被触发。总而言之，输入1和输入2有一个被激活时，神经元3被触发；而输入1和输入2同时被激活或者同时未被激活，神经元3都不会被触发。

图23　两层感知器结构可以计算异或函数

更详细地说，就是考虑如下四种情况：

1. 假设输入1和输入2都未激活，此时神经元2将被触发(因为它接收的输入O高于-1.5的触发阈值)，但神经元1不会被触发。这种情况下，神经元3接收到的输入为1，低于触发阈值1.5，因此神经元3不会被触发。

2. 假设输入1激活，输入2未激活。神经元1接收到的输入权重为1，高于触发阈值0.5，则神经元1被激活，神经元2接收到的输入权重为-1，高于触发阈值-1.5，同样，神经元2也被触发。此时神经元3接收到神经元1和神经元2的输入，权重值为2，高于触发阈值1.5。因此神经元3会被触发。

3. 假设输入2激活，输入1未激活。与情况2相同的计算方式计算得出，神经元3会被触发。

4. 假设输入1和输入2同时激活，此时神经元1接收到的输入权重为2，高于触发阈值0.5，则神经元1被激活。神经元2接收到的输入权重为-2，低于触发阈值-1.5，则神经元2不会被触发。神经元3接收到的输入权重为1，低于触发阈值1.5，因此神经元3不会被触发。