花椰菜中隐藏的几何秘密

肺泡、闪电、海岸线、人的体循环、树木、云朵以及超市里贩卖的花椰菜，这些东西之间有什么共同点吗？或许你能找到它们很多的共同特征。但在这篇文章中，我想要从科学家最感兴趣的角度—分形几何—来讲一讲它们的一大共同特征。什么叫分形几何？顾名思义，和“分形”有关。

让我们先来追溯一下分形几何学的历史发展。在20世纪60年代初，法国数学家曼德尔·勃罗特最早开始研究这个学科。按照传统，数学家们一般都会研究理想的、完美的概念，如整数维数等。而曼德尔却对那些更复杂、边缘、不规则的世界产生了兴趣（比起公式，他对图像更有热情），并且他在研究这些不规则的图形时发现，它们具有自相似的特征。

这是什么意思呢？我们可以简单地解释为，当我们说一个物体“自相似”时，也就意味着这个物体可以被分成多个部分且每个单独的小部分都和整体形状有着很相似的特性。例如：一颗花椰菜上的每一小朵都和整颗花椰菜长得差不多，一大片云里的每一小朵也都和整片云有着一样的外形特点，当我们拿起斧头砍下一棵树上的枝条时，这个枝条上的每一部分都和这棵树有一样的特点。如此循环往复，蕨菜也是这样的，这就被称为“分形”。分形的每一个重复单元结构都是不规则的，也就是说，它们的形状是不能通过传统数学中的公式来表述的。

欧几里得在2500年前创立了传统的几何学，在那时，几何学被认为是一种严谨、抽象的学科，和大自然毫无干系。当分形几何学出现时，数学再一次具备了更强大的力量，因为分形几何学研究的是自然现象，如云朵、山峰和海岸线，和我们的日常生活息息相关。

确实，黑板上画的那些直线、圆形和函数曲线很少出现在自然界中，反而更常见于人造物品—公路、楼房等等—人类可能会在游戏机和衣服图案上用到分形几何。分形几何艺术家们一直试图利用分形几何来创作出优秀的作品，但他们采用编写计算机程序的方式来制作图案，而非利用纸笔。20世纪末，还出现了一场“分形艺术”的运动，同其他的先锋运动一样，这些艺术家也通过这场运动来争取分形艺术的地位。

除去图案美丽，分形几何最精彩的地方是它的长度，或者说周长。海岸线就是一个很典型的分形几何。但是，你知道一条海岸线有多长吗？这是很难计算的。地图刻画得越精确，我们就越会发现海岸线是多么不规则—沙滩上布满岩石，海岸线歪歪扭扭。它的长度会随着很多因素的改变而变化，也和我们度量的规则有很大关系。当我们分别用公里、米、厘米作为单位去测量时，会得出不一样的结果。采用的计量单位越小，海岸线就越长，也越不规则。想象一下：现在，为了测量一条河的长度，我们乘坐小艇在河上进行测量，由于我们的体积太大，没办法完全接近每一个角落，所以我们最后测出来的长度肯定会比实际短一些。但是，如果是一只蚂蚁，它就可以知道岩石的每一个犄角旮旯有多大。所以，如果我们的体积和蚂蚁一样的话，我们的测量结果就会准确得多（当然，我们也会更累）。一切都是相对的概念。一段海岸线的长度是相对的，是可变的，取决于我们的测量方式和精确程度。这是一个很难被精确定义的量。

科学逸事：科赫曲线也是著名的分形曲线之一，这是一种形似雪花的几何曲线。它是由无数个正三角形组成的，这些正三角形的每一条边都被三等分，然后取等分后的中间线段为边，向外做更小的正三角形，就这么一直无穷地重复下去。这个重复的过程被称为“迭代”，常见于分形几何中。而分形几何常常以一个基本图形为元素，不断地在原有图形的基础上添加新的基础图形，并且一直重复并延展下去（计算机的一大特点就是擅长迭代）。重复到一定程度，整体图形会具备与基础图形相同的特征。科赫曲线的特别之处体现在哪里呢？那就是，它的面积是固定的（约为基础正三角形面积的1.6倍），但是它的周长却一直在增长。虽然听上去很矛盾，但事实确实如此。

流行小知识：分形几何对现实生活产生的最大影响，大概体现在游戏机和动画电影中。最初，这些动画中的图形都是简单的三角形、四边形或多边形，所以那些山和人脸都带着一些几何多面体的特性。随着信息技术的发展，计算机的功能越发强大，分形几何开始占据重要地位。托尼·德罗斯，加利福尼亚大学物理学学士及信息科学博士，也是皮克斯公司—电影《玩具总动员》《怪兽大学》的制片公司—最受人尊敬的一位数学研究专家，曾详细地解释过如何利用最简单的菱形，通过迭代的方式，构建成我们看到的所有精细化图案—云朵、山丘、森林以及你能想到的任何事物（只要是在皮克斯制片公司电影中出现过的）。这都得益于分形几何。皮克斯影业的数学研究所每年都会发表许多和动画相关的文章，文章名都会让我们觉得非常熟悉，如《鬈卷发的艺术模拟特征》，其中专门解释了《勇敢传说》电影中女主角的满头红鬈发是用什么分形几何做成的。

还有更神奇的一点，即分形几何的拓扑维度。什么意思呢？我们知道，一条线是一个维度的；一个平面（如正方形、三角形）是两个维度的；一辆汽车、一个足球是立体的，也就是三个维度的，正如我们生活在三维空间中。然而，一个由分形几何构成的物体却没有单纯的一维、二维或三维的概念。比如说，一条分形曲线可能具有弯曲、缠绕的形状，这条线的轨迹可能占据这个物体的整个表面。那么，这条曲线是一维还是二维的呢？这时，我们说这个分形曲线是介于一维和二维之间的，这个维度是一个分形维数。如果这条曲线非常弯曲，以至于其形状接近一个平面，那么可以说它靠近二维（如分形维数1.8维）。但是如果它弯曲程度不那么大，那么可以说它接近一维（如1.3维）。刚刚我们提到的科赫曲线就是1.2618维。科赫曲线形似海岸线，我们可以由此计算出海岸线的维度，这样也便于我们理解海岸线的不规则分布。一个平面的“粗糙”程度可以通过这种方式来计算。例如：地球表面的分形维数是2.1，而火星表面的分形维数是2.4，所以这颗火红的星球比我们赖以生存的这颗蓝色星球要粗糙一些。