明代的数学研究者大抵可以分为三个类别，其一是商人出身，因为商业经营必然会涉及数学知识，有些出身商人家庭的数学家从小就对数学产生兴趣，然后潜心研究最终成就一番事业，比如明代数学水平最高的王文素以及推动了珠算发展的程大位都是如此。

其二是文人出身，算学也是君子六艺之一，而且文人有钱有闲，有能力从事这方面的研究，嘉靖年间的南京刑部尚书顾应祥，明朝末期的徐光启、孙元化都是其中的代表。

第三种则是官员的幕僚，那些通过科举考试获得当官资格的文人，可不是谁都像顾应祥、徐光启一样掌握数学能力的，然而他们日常治理地方又少不了要用到数学，起码你得把交给朝廷的钱粮算准吧？

所以那些县令、知府上任的时候往往都会带上几位师爷帮他处理杂事，刑名师爷负责帮忙断案，钱粮师爷负责收税，后者必须有一定数学能力。

因此在官员幕僚中也诞生出了一些对数学研究颇深的人才，其中的佼佼者就是曾几次担任浙江布政使司幕僚的杭州人吴敬。

许长生想为高显找一位好老师，这不光能传授他经商所需的数学知识，还能借助此人来推动大明科学技术的进步，一般人肯定无法满足他的需求，要是能找到上述几人中的某位自然最好。

而这些人里，现在已经出生的就只剩下吴敬了。

更巧的是，吴敬此时就在京城，他侍奉的浙江布政使前不久刚刚调任他处，吴敬暂时没了工作，便来京城游历，试图搜集算学著作、和精于算学的同好交流。

许长生是在沿运河北上途中偶尔得知这一消息的，他先在只知道吴敬来了京城，却不知道他住在哪里，不过没关系，先去浙江会馆打听便是。

现在的人进京之后都喜欢住在同乡会馆，吴敬又是有一定名气的人，应该能打听到，就算浙江会馆找不到，还可以去钦天监，现如今精于算学的人几乎都在这里。

没费多大功夫，许长生就在浙江会馆打听到了吴敬的下落，吴敬刚刚进京的时候的确住在这里，后来嫌这边人多嘈杂，便去了一处冷清的寺庙居住。

许长生找到吴敬的时候，他正在和一名同好交流数学题呢，“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，

共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”

这题简单，用现代数学语言表达就是七层宝塔上挂了许多红灯，下一层灯的盏数是上一层灯的盏数的2倍，共有381盏灯，求顶层有几盏灯。

解题也容易，用初中的等比数列知识就能得到答案，设塔底有X盏灯，每一层的灯翻倍，第二层为2X，第三层为4X......

以此类推列出算式：X+2*X+4*X+8*X+16*X+32*X+64*X=381。

解方程求出X=3，塔顶灯数就3*64=192。

“塔顶一百九十二盏灯！”吴敬对面那人还在皱眉计算，许长生便直接报出了答案。

俩人同时回过头来看着大腹便便的许长生，不仅没有因为被打断而生气，反倒满脸的喜色，因为在大明想找个能交流算学的同好那可是太不容易了。

“在下杭州吴敬，这位是钦天监漏刻博士贝琳，敢问先生是？”俩人连忙起身问道。

“在下山西商人马建林，专程为拜访信民先生而来，听到题目一时技痒，还请不要见怪！”许长生回礼道，信民是吴敬的字。

“原来是马贤弟，快请坐！”吴敬、贝琳二人并未因为对方自报商人身份而心生嫌弃，反倒殷勤地将他迎到里面就坐，并亲自为他斟茶。

“此题马贤弟是如何解出的？马贤弟可是读过《九章算术》？”不等许长生坐好，吴敬就急切地问道。

他曾经多次寻找《九章算术》全本，可惜花了十多年功夫也没凑齐，而他刚才出的那道题，其实就是从《九章算术》中一道题演化而来的。

原题是“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这两道都用到了等比数列的知识。

“以天元术可解，立塔底灯数为天元一，则二层为二倍天元一，以此类推即可算出塔底灯数为三.......”许长生用手指沾着茶水把计算过程在桌上写了出来。

不等他二人反应过来，许长生就直接来了个狠的，“信民先生这道题涉及到了等比数列，哦，我将前一数与后一数比值固定的一串长数称之为等比数列，而等比数列求和其实有更简单的办法......用首数乘以一减公比的项数次方再除以一减公比即可，只要公比不为一，都能通过此式求和！”

许长生继续用茶水把等比数列求和公式用古典数学的表达方式写了出来，整个过程中，吴敬和贝琳就像是欧阳锋看到了《九阴真经》一般，瞪大眼睛一眨也不敢眨，生怕错过任何一个细节。

等他写完，吴敬、贝琳马上拿来验算各自记得的等比数列题目，结果正如许长生所说那般，简简单单一个公式，就能计算出等比数列前几项的和。

“马贤弟此法是从何得来？”吴敬又追问道。

“得自蒙元司天台提点扎马鲁丁的《四擘算法段数》。”许长生答道。

许多古文明都发现了等比数列的奥秘，而最早给出准确求和公式的则是欧几里得，他将这一成就记录在《几何原本》中。

好多人都认为《几何原本》是明末时期才由传教士利玛窦带到中国的，其实不然。

唐朝末期，阿拉伯世界兴起了将古希腊、罗马、波斯等国的学术典籍译为阿拉伯语的热潮，这一风潮持续了近两百年时间，史称百年翻译运动，《几何原本》便在这时候流入了阿拉伯世界。

忽必烈时期，波斯天文学家扎马鲁丁将几何学带入中国，称之为“形学”，据说在《射雕侠侣》里被杨过杀死的蒙哥大汗就经常为人解说《几何原本》中的图形为乐。

而扎马鲁丁带到中国的阿拉伯文《四擘算法段数》据说就是《几何原本》，可惜这部书并没有引起多少人的重视。

“朝闻道，夕死可矣，今日从马贤弟口中得此秘法，死无憾矣！”吴敬激动地难以自己。